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an²+3
4 (n=1, 2, ……) で定義される数列{an}について
a1=0, an+1
(1) 0≦an<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ.
1-an
(2) 1-an+1<
が成り立つことを示せ .
2
(3) liman を求めよ.
n→∞
1
2n-1
解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式
an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として,以下の方法がある.
an
の極限が存在して,その値がαならば, lima,=α, lima,+1=α であるから, αはα = f(α) を
1°
満たす.これからαの値を予想する.
2°与えられた漸化式 an+1=f(a) と α = f(α)の辺々を引くと, an+1-α=f(a) - f(α) となる
が,これから,
|an+1-α|≦k|an-αl, kは 0≦x<1である定数・
の形の不等式を導く. すると,|an-al≦klan-1-al≦k2|an-2-al≦..≦kn-1|a-a|
0≦an-a|≦kn-1|α-a|
limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0
n→∞
· ≤ak+1<-
解答量
(1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する.
n =kでの成立,つまり0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について,
02+3
12+3
.. 0≦ak+1 <1
4
よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された.
an²2+3
1-an²
2
1+ an
(2) 漸化式から, 1-an+1=1--
(1-an)
4
4
4
(1)により tan1+1=1/21-0,>0であるから,
4
=
1-a₂+1 <1/12/2
(3) 1-a>0と、① を繰り返し用いることにより,
01-an</(1-an-1) 22 (1-0₁-2) <... <
・(1-
2²
(なお、要点の整理・例題 (8) からのkは定数でないと, an→α とは結論できない)
-(1-an)
(1
n→∞
2n-1
n→∞
(1−1)=1
→0より, はさみうちの原理から lim (1-am) = 0
n→∞
HAS
2n-1
liman=1
118
(岡山県大情報工-中
an→α (n→∞)
0≦x<1のとき,02≦ak2/12
漸化式を用いて 1-an+1 を an
表す.
a=
本問の場合、求める極限値を
として, 1° を使うと,
a²+3
4
からαの値が予想できる.
∴.α=1,3
