基本
本 例題 92 ある変域で不等式が常に成り立つ条件
00000
0≦x≦2 の範囲において, 常にx2-2ax+3a>0 が成り立つように、定数
の値の範囲を定めよ。
CHART & THINKING
x 2 の係数は正。 「常に x2-2ax+30 が成り立つ」
ことから, 図1のように単にD<0 とするのは間
違い! 0≦x≦2 の範囲」 となっているから,
D>0で図2のような場合も起こりうる。
「ある変域でf(x)>0⇔ (変域内の最小値)>0」
基本 6
x 02
X
図 1
図2
と考えてみよう。 文字を含む2次関数の最小値は
どのように求めればよかっただろうか。→p.114 基本例題 64 参照。
【解答】
f(x)=x2-2ax+3a とする。
求める条件は, 0≦x≦2 の範囲における関数 y=f(x) の最
小値が正であることである。
f(x)=(x-a)-α+3a であるから, y=f(x) のグラフは
下に凸の放物線で, その軸は直線 x=α である。
[1] α <0 のとき
f(x)はx=0 で最小となる。
- よって
[2]
f(0)=3a>0
0≦a≦2 のとき
f(x)はx=αで最小となる。
よって f(a)=-a2+3a>0
これを解くと, α(a-3) < 0 から
(これと 0≦a≦2 の共通範囲は
[3] 2<α のとき
f(x) は x=2 で最小となる。
これは α <0 を満たさない。
すなわち
a²-3a<0
0<a <3
0<a≦2
.①
[1] 軸が変域の左外
✓
a
2才
02
[2] 軸が変域の内部
0 a 2 x
[3] 軸が変域の右外
よって
f(2) =4-a>0
ゆえに
a<4
これと 2<αの共通範囲は
2 <a<4
(2)
求めるαの値の範囲は,①と②
を合わせて 0<a<4
2
4
a
a
0
2
範囲があるときは
14のような考え
