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例例題 274 2つの等差数列の共通の
初項1,公差2の等差数列{an} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。
(1) 数列{an}と{bn}の一般項をそれぞれ求めよ。
思考プロセス
(2) 数列{an} と {bn}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで
きる数列{cn}の一般項を求めよ。
3176 H
(2) 未知のものを文字でおく
{an}の第1項と{bn}の第m項が等しいとする。
⇒21-1=3m-2 (L,mは自然数)す
1 (1) 数列 {an}の一般項は
an=1+(n-1) 2=2n-1
>21-3m=-1の自然数解
BAINS
1次不定方程式
Action» 等差数列{an},{bn}の共通項は,a=bm として不定方程式を解け
脂質問を募ることの門商法
数列{bn}の一般項は
a S
bn=1+(n-1)・3=3n-2
(★★)
309 (2) {an}の第1項と{bn}の第m項が等しいとすると,
21-1=3m-2より
21-3m=-1
l=1,m=1 はこれを満たすから
40
2(1-1)=3(m-1)
･①
2と3は互いに素であるから, 1-1は3の倍数である。
よって, l1 = 3k(kは整数)とおくと
l=3k+1
これを①に代入して整理すると m=2k+1
lm は自然数より
k = 0, 1, 2,
nは自然数より,n=k+1 とおくと k=n-1
ゆえに, l=3n-2 (n=1,2,3, ・・・) であるから
Cn = d3n-2=
-2=2(3n-2)-1=6n-5
〔別解)
A IS
2つの等差数列の項を書き並べると
{an}: 1, 3,5,7, 9, 11, 13,15, 17, 19,
です
SSS - ST
{6}: 1,4,7, 10,
13, 16,
19,
よって、求める数列{cm} は,初項1の等差数列となる。
公差は2つの数列の公差2,3の最小公倍数6である
から
Cn=1+(n-1)・6=6n-5
一
a=bm
165303
21-3m=-1
-) 2・1-3・1 = -1
2(1-1)-3(m-1)=0
[*+-+*+/
3k+1≧1 より ≧0
【2k+1≧1 より ≧0
AREN
■nとんの対応は,不定
方程式 ① を解くときに用
整数1, m の組によっ
変わる。
具体的に考える
{an},{bn} を具体的に書
き出して、規則性を見つ
ける
{cm}:1,7,13, 19,
EVAYER 3ªð
