基本 例題 43
対偶を利用した命題の証明
文字はすべて実数とする。 対偶を考えて,次の命題を証明せよ。
(1)x+y=2 ならば「x≦1 または y≦1」
(2)'+b2≧6 ならば「a+6|>1 または |a-b|>3」
CHART & SOLUTION
対偶の利用
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命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用
00000
p.76 基本事項 6
(1)x+y=2 を満たすx, y の組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ
る。そこで,対偶が真であることを証明し,もとの命題も真である,と証明する。
条件 「x≦1 または y≦1」 の否定は 「x>1 かつy>1」
(2)対偶が真であることの証明には,次のことを利用するとよい。
解答
A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。)
(1) 与えられた命題の対偶は
「x>1 かつ y>1」 ならば x+y=2
これを証明する。
x>1, y>1 から
x+y>1+1 すなわち x+y>2
よって, x+y=2 であるから, 対偶は真である。
したがって,もとの命題も真である。
(2)与えられた命題の対偶は
「la +6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+62<6
←pg の対偶は
q⇒ p
←x>ay> b ならば
x+y>a+b
(p.54 不等式の性質)
2章
6
これを証明する。
|a+6|≦1, |a-b≦3から
(a+b)2≦12, (a-b)2≦32 ←|A|=A2
よって
(a+b)2+(a-b)≦1+9
ゆえに
2a2+62)≦10
よって
a2+62≦5
ゆえに、対偶は真である。
したがって,もとの命題も真である。
a+b25と5<6 から
a2+62-6
POINT 条件の否定条件, gの否定を,それぞれ,g で表す。
かかつ
または
または
かつ
PNQ=PUQ
PUQ=PnQ
論理と集合
