複素数平面の問題です、解答にはない解き方をしたのですが、これでいいですか？十分性が抜けてるよ〜とか、アドバイスお願いします！

□問題8 次の3つの条件に適するような2つの複素数 71, 22 を求めよ。 |21| = 2, |22| =3,321 +222=6

数学　複素数 画像1枚目の⑵について、赤」なところまでは理解できたのですが、その先が理解できないので教えていただきたいです。 私は画像2枚目のように解いてしまったのですが、なぜtにバーが付いたままになるのでしょうか？

例題 1 tを -iとは異なる複素数とする。 z=1 1-ti とおく。 4 tが実数のとき Izl=1であることを示せ。 (2) Izl=1ならばtは実数であることを示せ。 解答 (1) 解説参照 (2) 解説参照 解説 (1) [212=zz= 1-ti 1-ti 1+ti 1+ti . -11-1#1#7--1) 1+ti 1+ti 1+ti. 1−ti = 1 1- #1 · 1+1 1 ( : 7 = −i) 1-ti 1 ti 1-ti 1+ti よって, Izl=1である。 (2) Iz|= 1+ti 11+til -ti 11-til が1であるとき, 11+tl=11-tl 11+ti1211-i12 (1+ti) (1+ti) = (1-ti) (1-ti) (1+ti)(1-ti) = (1-ti)(1 + i) ⇔ 1+ti-tittt=1+ti-ti+tt 2i (t-t)=0 よって,t=tであるから, tは実数である。

1番上の行の部分をαα'=ββ'=1と書いてもOKでしょうか？

(証明 |a|=|B|=1から |α+B=1 から aa 1, BB=1 ... ① (a+B)(a+ß)=1 すなわち (α+B) (+B)=1..... ② ①から a = 1, B = 1/3 これを②に代入して B ( (α+B) (12/1+1/2)=1 両辺に αβ を掛けて よって (a+b)2=aß a2+αβ+B2=0 終 強ま Car

【複素数平面】 赤い部分です。何を持ってこの式変形をしたかがわからないです。

基本 例題 81 複素数の絶対値と共役複素数 (1) 425 00000 |z|=1 かつ |z+il = √3 を満たす複素数zについて, 次の値を求めよ。 (1) スズ CHART & SOLUTION 複素数の絶対値 (1) zz=|2|2 え (3)p.41 基本事項 3|,4| ||||として扱う |a|=aa (2) (z+i)(z+i)=z+iの利用。 (1)(2)の結果から,zについての2次方程式を導き,解く。 別解 z=a+bi(a,bは実数)とおき,a,bの値を求める。 答 (1)zz=|z|2=12=1 (2)|z+il=√3から ...... + 2+1=3 よって (z+i)(z+i)=3. すなわち (z+i)(-i)=3 展開すると zz-iz+iz+1=3 zz=1 を代入して整理すると i(z-z)=-1 よってzz== =i 2 (3) z≠0 であるから, (1) の結果より 2= 12 これを (2) の結果に代入して 両辺にを掛けて整理すると 01 z-=i z2-iz-1=0 よって (2-1/2)-(+)- \2 -1=0 8 \2 == ゆえに12-27 すなわち 12 3 i √3 =± 2 √3 13 - したがって + z= 2 2 (別解 ←lz+i=(z+i) (z+i) ←z+i=z+i=z-i ←i=-1 ← | z|=1から z=0 |2|=1のとき, 2= =1 の関係はよく利 え 用される。 z=a+bi (a,bは実数) とおく。 z=a-bi であるから z-z=a+bi-(a-bi)=2bi (2) より zzi であるから b= b = 1/13 2 また, |z|=1であるから a2+62=1 b=1/2 を代入して a2=242 3 +√3 よって a=± 28- したがって √3 3 2 + -i, + 2 2 2 「α 6 は実数」の断りは 重要。 <=2bi=i |z²=a²+b² $8 JEJ 3

【複素数平面】共役複素数の性質 ⑴別解の赤マーカー部分がわからないです。 『|z+a|^2,|a|^2は共に実数である』ってあるんですがどーゆことですか？

22 基本 例題 79 共役複素数の性質(2) 定数αは複素数とする。共 00000 (1) 任意の複素数zに対して,zz+az + az は実数であることを示せ [(1)岡山大〕 (2) αz が実数でない複素数 z に対して, az-az は純虚数であることを示せ。 CHART & SOLUTION 複素数の実数,純虚数条件 共役複素数を利用 2 が数 p.417 基本事項 3 基本 78 重要 83 zが純数 ただし,z0 (1) w=zz+az+αz とおいて,w=w を示す。 morujo 24 複素数平 るかが 4点 z=a+ である これか 解答 v=az-az とおいて,v=v かつ v0 を示す。 S-01=sS+sal (1) (1)w=zz+az+αz とする。 両辺の共役複素数を考えると ① となる 複素 z=a Z w=zz+az+az Zi ここで (右辺)=zz+az+az=zz+αz+az =zz+az+αz=w 6+01 したがって, w=w であるから, zz+αz+αz は実数であ 共役複素数の性質を利用。 α, β を複素数とすると α+β=a+β, a=α の る。 0=b (別解 (1までは上と同じ) (z+a)(z+α)=zz+az+az+ad から w=(z+a)(z+α)-a =(z+a)(z+α)-α aa =2+a2-a² || を用いた別解。 0=b+5+ 0=b+00 +wo+ (z+α|aはともに実 したがって,zz+az+αz は実数である。野党数である。 v=az-az とする。 αz が実数ではないから よって azaz azaz ゆえに azaz≠0 az 実数 ⇔ az = az すなわち v≠0 v=azaz の両辺の共役複素数を考えるとv=az-az ここで (右辺)=az-az=-az+az=-v したがって, v=v かつ v≠0 であるから, az-azは 純虚数である。 PRACTICE 79 であるから, αz が実数でない ⇔azaz (1) zz=1 のとき, z+ は実数であることを示せ。 2 [類 琉球大〕 2が実数でない複素数zに対して,(Z)は純虚数であることを示せ。 2

複素数の問題です 3枚目の写真の赤線の部分の範囲がこのように絞れる理由が分かりません！教えてください🙇

2つの複素数とwの間に、 Bz w= 2-a なる関係式がある.ここで,α, β は複素数の定

なぜ4点ABCDから出来る平行四辺形はこの3つだけなんですか？？円順列的に考えて3つの並び替えで3!で6通り存在しないのは何故ですか？？

Think 例題 C2.9 複素数平面での平行四辺形の頂点 形式 (365) C2-1 **** 複素数平面上に4点A(1-2), B(z), C(iz), D(z) を定める. 四角形 ABCD が平行四辺形であるとき, 複素数 zを求めよ. 考え方 四角形ABCD が平行四辺形であることをベクトルで表すと, AB=DC であるから 複素数平面でA(α), B(β), C(y), D() のとき, β-α=y-δ である. 四角形ABCD が平行四辺形より, AB = DC, AB/DC 解答 である. よって、 z-(1-2i)=iz-ス つまり、 z=(i-1)z+(1-2i) ①の両辺の共役複素数をとると, _z= (-i-1)z+(1+2i) ここに①を代入すると, ① www D(z) C(iz) O B(z) (8O+AO)SAA(1-2i) z=(-i−1){(i−1)z+(1−2i)}+(1+2i) したがって, 0% z=2z-2+3i z=2-3i 0 th 1=2+b)+(nds) ① OAO)+(内 (別解)四角形ABCD が平行四辺形のとき,対角線 AC と BD の中点は一致するから、 A (1-2)+iz 2 た z+z32. OA 2点α, βを結ぶ線分 (S)(1) A01:1 したがって, ad よって, (1-iz+z=1-2i の中点は, a+β (1-2i)+iz=z+z 2 (p.C2-52 参照) ①の両辺の共役複素数をとると, (1+i)z+z=1+2i.......② ① ×(1+i) ② より を消去すると, z=2-3i Focus 四角形ABCD が平行四辺形A0 .00 x+Q+D AB=DC または AD=BĆ あるいは、対角線の中点が一致 z= a + bi (a,b は実数) とおくと, z=a-bi これらを,z-(1-2i)=iz-zに代入して解くこともできる。三 "はABC AD 習 例題 C2.9 の4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数zのうち, 2.9 例題 C2.9で求めた z=2-31 以外の z をすべて求めよ.

証明がわからないです。コツを教えて欲しいです。

例 11 共役複素数の性質 (2) 複素数αについて、 次のことを証明せよ。 |α|=1のとき, α+は実数である。 a 解答 |α|=1のとき, |α|2=1であるから zz= |2|2を利用するために, 12 の式を作る。 202x- 1 αα = 1 すなわち α== ここで a+ ==α+ a ccc +=+ (1) = a+ 1 = 1 + 2 1 a (/)= a == +ā +α a α+- ≒=a+ よって,+1=2+1/2 であるから,+1は実数である。 実数⇔z=z a a a 川練習 21 複素数αについて, 次のことを証明せよ。 22 複素数αについて、 次のことを証明せよ。 (α)'+- lal=1のとき,(a)+(by は実数である。 (α)2 ||=1のとき, +1 は実数である。 4

先ほどの逆ですがこれは具体的にしていくのがベストでしょうか❓

例 10 複素数とその共役複素数の和と積 z=3+2iのとき, 次の値を求めよ。 (1) z+z (2)zz 解答 (1) z+z=(3+2i)+(3-2i)=2・3=6 z=a+bi のとき z+z=2a zz=a²+b² zzzzはともに実数である。 (2) zz=(3+2i) (3-2i) = 3'+2=13 は 基本 19 z=1+i のとき, 次の値を求めよ。 (1) z+z (2) ZZ SIR 20 z=3-4i のとき, 次の値を求めよ。 (1)zz (2) zz

例題の手法が厳しいです😥 (1+i)+(1-i) と仮定して (1-i)(1+i)=2 として大丈夫でしょうか？

例 9 共役複素数の性質 (1) 複素数 α,βについて, α-β-i=0 のとき, α-β を求め よ。 解答 α-β-i=0から a-β=i 両辺の共役複素数を考えると a-β=i すなわち a-B=-i 基本 BR α-β=a-B を利用。 i=0+iであるから i=0-i=-i 17 複素数 αβ について,次の問いに答 18 複素数α,β について,次の問いに答 えよ。 えよ。 (1) α+β=2のとき, α+3 を求めよ。 ar (1) α+β=-1 のとき, α+βを求めよ。 = += (1) .2 S+1-8 J-S=D (1) (2) α-β+2i=0のとき, α-βを求めよ。 (2)α-β+i=0のとき, α-B を求めよ。 (3) αβ=1のとき, αを求めよ。 (3) αβ=3i のとき, a を求めよ。