図形の面積を求める問題です 「共有点の一つである点(1,√3)をQとする。」の所で どうしてこうなるのか教えて欲しいです

364 [円と放物線で囲まれる図形の面積] まとめ 162 チェックポイント ① 面積を求める領域の境界線に円弧が含まれる場合は,その円弧によってつくられる扇形に着目する。 点P(2, 0) を中心とする半径2の円の方程式は (x-2)2+y2 = 4 この円と放物線y=√3xの共有点のx座標は, (x-2)+(√3x2)=4... ① の実数解として求 めることができる。 ① を整理すると x2-4x+4+3x = 4 x(3x³+x-4) = 0 x(x-1)(3x+3x+4) = 0 2次方程式 3x² +3x+4=0 は実数解をもたないから, 方程式 ① の実数解は x=0,1 共有点の1つである点 (1,√3) をQとする。 ∠OPQ = 60° より 扇形 PQO の面積は 1 2 6 3 .2² × π･ - また、放物線 y=√3x2と直線x=1 およびx軸で囲まれた部 分の面積は √ π [√3³ さらに, A(1,0)とすると √3x² dx = 以上より,求める面積は -X³ = Jo 2 3 √√3 3 AAPQ = 1/2 √√3 3 π 1/2/1×1×√3= - √√3 2 - 1002/201 2 5,√/3 3 6 オー VA √√3 ly=√3x2 A 1 P 2 x

円と放物線の共有点についての質問です。 【水色部分のようなことが起こってしまう】ということは分かりましたが【重解を持っていないのに接する】と言う状況がなぜ起こってしまうのか理由を分かりやすく教えてください🙇🏼‍♂️

2° 3° 円と放物線の位置関係 放物線 (2次関数のグラフ) の軸上に 中心がある円がその放物線と接するとき, 位置関係について 右図 の4タイプが考えられる.1°~3°は放物線の頂点が円周上にあるタ イプである. 入試では, 1° と 4° の内接タイプがよく出題される. 円と放物線 の式を連立させてェを消去すると,1°~4°のすべてについてyの2 接点は頂点 次方程式となる。 4°のタイプはyの重解条件でとらえることがで きる。 しかし, 1°~3°は,yの重解条件でとらえることができないことに注意しよう。 放物線y=x2① ㎡2+(y-a)²=r2...... ② が異なる2点で 4°を重解条件でとらえる 接するための条件は、 ①, ②からxを消去して得られる」の2次方程式が, >0 に重解をもつことであ る. 4°はこのように重解条件でとらえることができる. 上の人を説明しよう.例えば②がx2+(y-1)2=1の場合, ①と②は原点で接するが, ①と②から を消去して得られる」の2次方程式y2-y=0は重解をもたない. したがって､ 安易に接する⇔ 重解条件’ としてはいけない. [詳しくは, 「教科書 Next 図形と方程式の集中講義」§17]

青い星がついているところの解説がいまいち理解出来ていないので詳しく教えていただきたいです。 放物線①と軸の交点の個数と円と放物線の交点の個数の関係についてだと思うのですが…

の共有点をもつ場合を考えて 929 放物線y=2x2+αと円x2+(y-2)=1について,次のものを求めよ。 練習 2 102 (1) この放物線と円が接するとき,定数aの値◎ (2) 異なる4 個の交点をもつような定数aの値の範囲4 愉

図の赤色の方程式の求め方なのですが、共通点(接してますが)が2個あるのに、判別式Dで求められるのは何故ですか？？

ME EN AUGE 重要 例題 96 放物 放物線 y=-x2+αと円x2+y²=16 について,次のものを求め 1 (1) この放物線と円が接するときの定数aの値 (2) 4個の共有点をもつような定数αの値の範囲の円 要 立 CHARTO SOLUTION 放物線と円 解答 (1) y=x²+a ³5 x²=4(y-a) から ただし, x2≧0であるから y≧a ② ①をx2+y²=16 に代入して 4(y-a)+y2=16 よって y2+4y-4a-16=0.③ [1] 放物線と円が2点で接する場合 共有点実数解 接点 重解・・･･・･ この問題では、xを消去して, yの2次方程式 4(y-a)+y²=16 の実数解, 重解を考える。 なお、放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線 をもつときで、この問題の場合、 右の図から, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 2次方程式③は重解をもつ。 ③の判別式をDとすると man ・① よって 求める定数αの値の範囲は 10 A yoFLA D=22-(-4a-16)=4a+20 放物線y=x2 円 MOITUIO 4 0 a=-4 市の 4 D = 0 から a=-5 このとき、③の重解はy=-2 であるから②に適する。 [2] 放物線と円が1点で接する場合 18 JJS = を求め 5 -50 a=-58-0 x²+|- 整理して x²(x この4次 HAF a=±4 x=0を で接して 同様に, 図から,点(0, 4), (0, -4) で接する場合で について [1], [2] から 求めるαの値は a=±4, -5 と入 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から、放物 x4. 線の頂点が,点(0, -5) と点 (0, -4) を結ぶ線分上(端点を すなわ 除く)にあるときである。 から, - 5 <a<-4 をもつ (24)を中心とする円が内接して inf. a=40 2+4y-32 すなわち(y から,y=4 で重解をもた しかし, y: x 連立方程式 ると

青チャの例題102の⑴についてです。 指針の部分に『接点をもつならば重解をもつ』という説明があると思うのですが、 まだ私には[1]2点で接する[2]1点で接する場合で、 判別式を使うかつかわないかどう判断しているのかよくわかりません。 接するということは『その部分に2個同... 続きを読む

重要 例題 102 放物線と円の共有点・接点 放物線y=x2+αと円x2+y2=9について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するとき,定数aの値 (②2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲 名 156 指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 共有点 実数解 接点重解 解答 x2=y-a (1)y=x2+αから これを x2+y2=9 に代入して よって x2+y-a-9=0 ここで, x2+y2=9から [1] 放物線と円が2点で接 する場合 2次方程式 ① は ② の範囲 にある重解をもつ。 よって, ① の判別式をD とすると D=0 D=12-4・1・(-a-9) で考えればよい。 この問題では, x を消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の実数 解,重解を考える。放物線の頂点はy軸上にあることにも注意。 (1) 放物線と円が 接する とは,円と放物線が共通の接線をもつこと である。この問題では,右の図のように,2点で接する場合と1点 2点で接する で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たすαの値の範囲を見極める。 (y-a)+y²=9 ① x2=9-20 [1] ...... a=- a=- y 3 O 9 37 4 13 37 [2] 放物線と円が1点で接する場合 図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合で 以上から、求めるαの値は 37 ±3 4 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは、右の図 ゆえに [2] =4a+37 10004 37 であるから 4a+37= 0 すなわち α=- 4 このとき, ①の解はy=-1となり,②を満たす。 x a=±3 -3≤y≤3 a=-3 YA 3 O 00000 ▲ x を消去すると,yの2次 方程式が導かれる。 3 基本95 1点で 接する 3 y=- a=3 WA -3 0 -3 カ 2次方程式 by2+gy+r=0 の重解は 9 2p 頂点のy座標に注目。 ま

この文見ただけで円が内接してるって分かるものなんですか？？ 円が飛び出てたりすることは無いんですか？

快 ○ る「OOO =1 で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 例題 215 2 |基本 OSOLUTION AOITUIO EART め,図のように, 直線と放物線 で囲まれた部分の面積を補助的 に考え,三角形や扇形の面積を 足し引きする。 三角形の面積と扇形の面積は公 才を、直線と放物線で囲まれた部分の面積は積分を用いる。 R PQ Q R R 0 0 PQと放物線 が囲む部分 0 C S ARPQ 扇形 (2 無答 *まずは,放物編 有点の座標を を消去し,yC 式を考える。( 例題 96 参照) 物線と円の方程式からxを消去すると 9 =0 16 よって (yーー0 2 |3 すると yーテッ+ 4 3- ー号のときま Dn 3 に ソ=4 のとき x=± 4 2 y=x° に y= って, 放物線と円の共有点の座標は y=x から 3 2。 x= /3 4 3 3 4 4 5 4 R 2 図のようにP, Q, Rをとる。 る面積Sは, 図の赤く塗った部分 (ト 貴である。 |3 3 4! 4 13 0 3 x 2 2 2 部督の画物 Sは (トー) 2 P= πであるから 3 3 1 2. ARPQの xldx+ 4 V3 2 2 2 2 高さはう 2 2 13. V3 π V3 3 半径r, 中 2 4 3 の面積は _ 3,/3 4 3 S-N -1-2、 P/ e

理数Iの不等式と領域の問題です。 解き方が分からないので教えて頂けると嬉しいです😿 どなたかお願いします🙇🏻‍♀️

(2) y2(x-1) ヨ7)【不等式と領域】 次の図の斜線部分を不等式を用いて表せ。 ただし、境料 13) y>-2x+ Ax-1 *(1) yハーx? 含まない。 (2)30点月 03(4) 1 -2 0| 6 0| 1

（2）解説の1行目の式はどこから出てくるのですか？

51 Lv.★★★ 解答は89ページ、 点Aを中心とする円x+(y-a)°= 6°が,放物線y=x°と異なる2古D Qで接している。ただし, a> とする。 次の各間に答えよ。 2 ()aとbの関係式を求めよ。 ) △APQが正三角形のとき,円と放物線で囲まれた三日月形の面積を 求めよ。 (熊本大)

？書いてる所を教えて欲しいです。 異なる2点で接するのにD＝0なんですか、、、？

この問題では、xを消去して, yの2次方程式 (y-a)+y?=9 の実数解, 放物線と円の共有点 接点 148 基本 93 放物線y=x+aと円x+y°%=9について、次のものを求め上 (1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値 (2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲 重要例題 100 共有点→実数解接点 解 で考えればよい。 指針> 放物線と円の共有点についても, これまで学習した方針 0 0 0 重解を考える。 なお,放物線と円が接する とは、 円と放物線が共通の接線をもつとき で、この問題では,右の図のようになり, 2点で接する場合と1点で技 する場合がある。 解答 (2) 別盟 x=9-y2 であるから -3<ys3 x=y-a (1) y=x°+aから これをx+y?=9に代入して に代A(y-a)+y?=9 2のy つの値に対して、 xの量 つあり、y=±3ならょー けであるから,放物線と 4個の共有点をもつため 3 よって y°+y-a-9=0 [1] 放物線と円が2点で接する場合 2次方程式Dは重解をもつ。 のの判別式をDとすると D=1°-4(-a-9) =4a+37=0 -3 0 3 x -3 件は,2次方程式①が 範囲に異なる2つの実襲 もつことである。 よって 37 4 判別式 D=4a+37>0 37 a=ー 4 ゆえに る での 381 37 から a>- 4 [2] 放物線と円が1点で接する場合 させ (e) )=y"+y-a-9と 図から,点(0, 3), (0, -3) で接する場合で a=±3 軸について -3<ー- 以上から,求めるaの値は 37 土3 4' a=ー ある。f(3)=3-a>0から a<3……4 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から,放物 f(-3)=-3-a>0か 線の頂点が、点(0. -)から点(0, -3) を結ぶ線分上 37 a<-3 …… 5 (端点を除く)にあるときである。 3~6の共通範囲を 37 37 一<a<-3 したがって -25 郎. 練習 放物線 y=2x°+aと円x+(y-2)?=1について,!次のものを求めよ。 100 (1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値 の (2)異なる4個の交点をもつような宗熱 aのはのを面 D.15

⑶の最後の問題です 解答の線を引いた「1/2」が何か分かりません🙇‍♂️

1 -22+エをCとし,C上に異なる2点P, Qをとる。2点P, (2) 放物線y=ー Qのェ座標をそれぞれ p, q (p<q)とし、Cと直線 PQで囲まれる図形の面積 をSとする。Sを p, qを用いて表すと 1 S= ケ キク [と (2 である。 P 中をA S=-であり,さらに,線分 PQを1:2に内分する点がy軸上にあるよう 4 な p, qの値は 2 p=| コサ 9ミ シ である。 4-823 9 ま間 とする。 ぐり 以下,p=| コサ ミ6 シ 2点P, Qを通り, 軸がり軸と一致する放物線をDとすると,Dの方程式 は 2 ス -22- セ (-1,12,02 y= ソ である。 (数学II·数学B第2間は次ページに続く。) dtc2