剰余の定理で　このポイントの意味がわからないです　誰か　解説お願いいたします🥺

(x-1)2でわると 2.x-1余るら九十 よって, R(x)=a(x-1)2+2x-1 とおける. :: P(x)=(x−1)²(x−2) Q(x)+a(x−1)²+2x−1 P(2)=5 だから,a+3=5 A ..a=2 82 ポイント どうにかして よって,求める余りは, 2(x-1)2+2x-1 ひだ すなわち, 2x2-2x+1 (²-1) (262)! そしてわらせ!! 4のしい!! a 0+325 11 f(x) をg(x)h(x) でわったときの余りをR(x) とす ると 800=000h00・Q00+ROD f(x) をg(x) でわった余りと R(x) をg(x) でわった余りは等しい (h(x) についても同様のことがいえる) 小型

この問題の(2)の(ⅰ)の最後の○x+△のような形にする途中式というか解説が欲しいです。 （答）の第2項？はどのようにしてまとめられたのですか？

【3】 nを自然数として,xの整式f(x)=(x+1)" を考える。 次の問いに答 えよ.ただし、 必要ならば, 二項定理 (a+b)"=, Coa"+,Cla-16+, C24"-262+... を用いてよい。 (1) n=3 とする。 (i) f(x) を整式x-2で割ったときの余りを求めよ. (ii) f(x) を {2+ (x-1)} とみて変形することにより. f(x) を整式 (x-1)で割ったときの余りを求めよ。 (2) f(x) を整式 (x-1)で割ったときの商をQ(x), 余りをR(x) とする。 (i) R(x) を求めよ. (ii) Q(x) を整式x2で割ったときの余りを求めよ。 (3) f(x) を整式 (x-1)' (x-2)で割ったときの余りをS(x) とする, S(x) を整式xで割ったときの余りをすると.tは整数となる。 整数を4 で割ったときの余りを求めよ. ... + C-2426-2+,C_14ba-1+,C,b* 考え方 (1Xi) 実際に割り算を実行して解くこともできますが、 剰余の定理を利用する と楽に解けます。 (i) これも割り算を実行して解くことができますが, f(x) を {2+ (x-1)}a とみて変形すると (x-1) g(x) +ax+βの形にすることができます. この ax+βの部分が求める余りです。 (2Xi) f(x) = {2+(-1)}" と変形して、 二項定理を用いると R(x) が求まりま す。 (i) (i)の R(x) を利用すると剰余の定理を用いてQ(x) をx2で割ったとき の余りが求まります。 (3) 商と余りの定義と (2) の結果を用いると S(x) が求まります。 さらに剰余の 定理を用いると が求まります. ≧2のとき2"が4の倍数であることに気 付けば, tを4で割ったときの余りは, 3" を4で割ったときの余りを調べる ことで求まります. 3"= (-1+4)" とみて二項定理を利用してみましょう。 【解答】 (1) n=3のとき, f(x)=(x+1) である. (i) 剰余の定理より. f(x) をx-2で割ったときの余りは f(2)=(2+1)=27 である. (ii) f(x) を変形すると f(x)={2+(x-1)} である. =8+12(x-1) +6(x-1)² +(x-1) =8+12(x-1)+(x-1)^{6+ (x-1)} =(x-1)^(x+5)+12-4 となるので 求める余りは 12x - 4 (2Xi) f(x) 二項定理を用いて変形すると f(x)={2+(x-1)}" =2"+n2"-' (x-1) =n 2¹x-(n-2)-2-1 (40点) -3291 f(x)=(x 1)²06)+R(r) ...... (答) =, Co・2"+,C,2"-' (x-1)+,C22-2(x-1)2 + ··· ...+... (x-1)* となり、第1項と第2項を除けば (x-1) で割り切れるから R(x) Co 2"+C₁-2" (x-1) (答) 解説 1° 剰余の定理 ←解説 2° 整式の除法 ◆12x4の次数は (x-1) 2 数より小さい. ...... (答) である. (ii) 剰余の定理より. Q(x) をx2で割ったときの余りはQ(2) である。 ま た ←.Co.2"+,C,2 数は (x-1)' の次 解説3°(別解 ← 解説 1° 剰余 ★ 解説 2° 整式

なぜここでは商のQ(x)を更にx－1で割ってるのですか？

Check! 例題 56 剰余定理(2) CIBOA *** 整式P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1,x-1で割ると 余りは11のとき, P(x) を x-1で割った余りを求めよ. (東京電機大・改) 考え方 x-1=(x-1)(x2+x+1) である」 "{S+(S-x)}(S) P(x)=(x²+x+1)Q(x)+x+1,Q(x)=(x-1)Q'(x)+α とおくと, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 Poal beh =(x-1)(x²+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1となる。焼 1 解答 P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると、余りは x+1 より, ^ (1) 46 + - = (1) J P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1° ...... ① (8) A さらにQ(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 a とすると, ? Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ...... ② ② を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 P(x) を x-1で割ると余りは11より, したがって ③より. =(x-1)(x²+x+1) Q'(x)+ a(x²+x+1)+x+1et =(x-1)Q'(x)+α(x²+x+1)+x +1 ..... ③ "(SŤ (S) P(1)=11 P(1)=α (12+1+1)+1+1=11 43 a=3 よって, 求める余りは, 3(x2+x+1)+x+1=3x2+4x+4 1次式で割ったときの 余りは定数 BRE 剰余の定理)

剰余の定理　　至急お願いします！　 この問題が解けません。教えてください🙇 答えは 21・（ア）2（イ）−4（ウ）8（エ）32 22・P（X）＝x^3-7x^2+13x-2 23・a＝4、b＝9、その他の解x＝1−2i、2

P 100 剰余の定理, 高次方程式 21. xについての整式 P(x)=x+αx²-16がx-2で割り切れるとき, α= a= である。 また, このとき P(x)=0の虚数解をα, β とすると, α+B=1, αβ="α3+B°=であ a る。 ((ア) 5点 (イ) (ウ) 5点,(エ) 5点) 〔成蹊大 〕

書いてあることが分かりません。噛み砕いて教えて欲しいです🙏

Check! 例題 56 剰余定理(②2) *** 整式P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1, x-1 で割ると 余りは11のとき, P(x) を x1で割った余りを求めよ. (東京電機大改) 考え方 x-1=(x-1)(x2+x+1) である。"{S+(S-x)} P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1,Q(x)=(x-1)Q'(x)+α とおくと,4より P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1のPC (2)=(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 となる。 xxx +3 8420 ps & 解答 P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると、余りは 1 x+1 より. P(x)=(x²+x+1) Q(x)+x+1S......S=(S) 9 さらに,Q(x) を x-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 aとすると,(-2)-(-2)+(-2)^+4=0 S + ( + ) 1 0 a=3 よって, 求める余りは, Q(x)=(x-1)Q'(x) + a2+z)Sm& .....(z) ② を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 (2) P(x)=(x-1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 ……③ P(x) をx-1で割ると余りは11より, P(1)=11 * { s + (S-剰金の 剰余の定理 (28) +"(S-*) したがって、③より 0P(1)=a(12+1+1)+1+1=11 =(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 とたるものであく 焼 Donos +2x+6 3(x2+x+1)+x+1=3x2+4x+4 1次式で割ったときの 余りは定数 約 BHS XD (7) 10 Jp12.50

数II 高次方程式 線が引いてある部分についてなのですが，「因数分解」というのは剰余の定理を用いたということなのでしょうか。それとも割り算の筆算ですか？他に方法はあるのでしょうか。教えて頂きたいです💦

138-1と2が解であるからⅠ (-1)³ + 2°+α・22+2+b=0 a+b=2, すなわち これを解いて a(-1)²+(-1)+b=0AJ »HT 2014 (2) 4a+b=-10 a=-4,b=6 このとき, 方程式は x 3-4x2 + x +6= 0 この式の左辺は(x+1)(x-2) で割り切れるから, 左辺を因数分解すると (x+1)(x−2)(x-3)=0 したがって,他の解は 3 TIL STEP A・D

なぜ下線のように言えるのですか？ ２枚目の計算はできるのですが、ここからどう展開するのですか？

25 剰余定理(ⅡI) 整式f(x) を2x+1, 2x-1でわったときの余りがそれぞれ 4, 6のとき, f(x) 4.²-1でわったときの余りを求めよ. 精講 24 で学んだように, わり算が実行できなくても 「剰余の定理」 を使 えば余りを求められます. しかし, この定理は1次式でわったとき の余りを対象にしたものです. この問題のように, 2次式でわった ときの余りを要求されたらどのように対処するのでしょうか. 求める余りは ax + b とおけるので f(x)=(4x2-1)Q(x) +ax+b と表せる. 解答 1-121) - 4.1(12) = 6 だから, =6 -1212a+b=4, 1/23a+b=6 よって, 求める余りは, 2x+5 ポイント 参考 ∴.a=2,b=5 MUS 43 | 2次式でわった余り は1次以下 剰余の定理 n次式でわったときの余りは (n-1) 次以下の整式 f(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+R(x) として, 部分だけを見る と2x+1でわりきれています. ところが, f(x) は2+1でわると 1であると4余るはずです だか

この問題の別解から下の部分がよくわかりません。 教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

基本例題 54 剰余の定理利用による余りの問題 (2) 整式 P(x) を x+1で割ると余りが-2, x2-3x+2で割ると余りが -3x+7であ るという。このとき, P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割った余りを求めよ。 基本 53 重要 55 指針 例題 53 と同様に, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax²+bx+c とおける。 問題の条件から,このα, b,cの値を決定しようと考える。 別解 前ページの別解のように、文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2) で 割ったときの余りを、 更に x2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割った余りを考える。 解答 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x), 余り をax²+bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax²+bx+c. ここで, P(x) をx+1で割ると余りは-2であるから P(−1)=-2. また, P(x) を x2 - 3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割ったとき の商を Qi(x) とすると P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)-3x+7 ゆえに P(1)=4 よって, ① と ② ~ ④ より a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+26+c=1 この連立方程式を解くと したがって 求める余りは -2x2+3x+3 ...... ③, P(2)=1 a=-2,6=3,c=3 ………... 別解 [上の解答の等式 ① までは同じ ] x2-3x+2=(x-1)(x-2) であるから, (x+1)(x-1)(x-2)Q(x)はx-3x+2で割り切れる。 ゆえに, P(x) を x-3x+2で割ったときの余りは, ax²+bx+c をx2-3x+2で割ったときの余り)と等しい。 P(x) をx2-3x+2で割ると余りは-3x+7であるから ax2+bx+c=a(x2-3x+2)-3x+7 よって, 等式 ① は,次のように表される。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+α(x-3x+2) -3x+7 P(−1)=6a+10 したがって P(x) を x+1で割ると余りは−2であるから P(−1)=-2 ゆえに 6a+10=-2 よって a=-2 求める余りは -2(x2-3x+2) -3x+7=-2x²+3x+3 3次式で割った余りは, 2 次以下の整式または定数。 <B = 0 を考えて x=-1, 1,2 を代入し,α, b,cの値を 求める手掛かりを見つける。 (第2式) (第1式) から 266 すなわち b=3 この解法は、下の練習 54 を解くときに有効である。 (*)ax²+bx+cを x2-3x+2で割ったときの 余りをR(x) とすると, 商 は α であるから P(x) =(x+1)(x-1)(x-2)Q(x) +α(x2-3x+2)+R(x) =(x2-3x+2) ×{(x+1)Q(x)+α}+R(x) 両辺にx=-1 を代入。

別解の「ゆえに、」のあとに書いてある赤い点線のところが分かりません。なぜ余りが等しくなるんですか？

基本 例題 54 剰余の定理利用による余りの問題 (2) 整式 P(x) を x+1で割ると余りが -2, x2-3x+2で割ると余りが-3x+7であ るという。このとき,P(x) を(x+1)(x-1)(x-2) で割った余りを求めよ。 SAT 基本53 重要 55 28 指針 例題 53 と同様に、割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 JUTU 覚 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax²+bx+c とおける｡ 問題の条件から,このα, b,cの値を決定しようと考える。 別解] 前ページの 別解 のように, 文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2 割ったときの余りを、 更に x2-3x + 2 すなわち (x-1)(x-2) で割った余りを考える。 解答 あ P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x), 余り を ax2+bx+cとすると、次の等式が成り立 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax2+bx+c ...... ① 13 次式で割った余りは, 2 次以下の整式または定数。 * CUIS

回答中のg(x)って0で割り切れるってどこから分かるんですか？ 別に割りきれなくても、(x-1)はf(1)のとき0になるから、g(x)は0でなくてもいいし、ましてや0なるなんてわからない気がするのですが、、、

[学習院大] (2) n2以上の整数とするとき, x-1 を (x-1)2で割った。 ERCIS 92 重要 例題 58 剰余の定理の利用 (3) (1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき, 定数 α, めよ。 両辺に OLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+ R を利用 ① 次数に注目 (1)(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)2Q (2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, d=1,6°=1です。 ⇒ f(x)がx-1 で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 α"-6"=(a-b)(a-1+α"-2b+α-362+..+ab^2 +b^2) 50 P 51 次 (1 CHARTO SOL [②2] ② 余りには剰余の定理 解答) (1) f(x) は x-1 で割り切れるから 1-a+b=0 _ ゆえに よって1-α+b=0 したがって (1)=0 ① b=α-1...... f(x)=x-ax+a-1- =(x-1)(x2+x+1-a) - g(x)=x2+x+1-a とするとg(1)=0c ゆえに a=3 よって 3-a=0 これを①に代入して 6=2 (2)x1 2次式 (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると,次の等式が成り立つ。 x-1=(x-1)2Q(x)+ax+6-1 第8 10 482 次の ・a 1 1 1 -atl (3) 492 整 条件から, gla で割り切れる。 52③ 53④