n本の直線によって an個の領域に分けられているとき, (n+1)本目の直線を引くと領
基本 例題130 図
平面が直線によって分けられる領域の個数をn で表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2) n(n22)本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
(類滋賀大
n=3
D。
D、
指針> (1) n=3の場合について, 図をかいて 考えてみよう。
b, leと2点で交わり,この2つの交点で lsは3個の線分また
は半直線に分けられ, 領域は3個(図の Ds, De, D;)増加する。
S
Do
D。
D
D。
D。
図を記
a-7
よって
a3=Q2+3
同様に,
番目と(n+1)番目の関係に注目 して考える。
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2)(n-1)本の直線が(1)の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行にカえ
から(n-2)個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
解答
(1) n本の直線で平面が an 個の領域に分けられているとする。
(n+1)本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直線で
(n+1)個の線分または半直線に分けられ, 領域は(n+1) 個
an+1=antn+1)。
また
4(n+1)番目の直線はn本
の直線のどれとも平行でな
いから,交点はn個。
だけ増加する。ゆえに
よって
an+1-an=n+1
a=2
数列 {an}の階差数列の一般項は n+1であるから,n>2の
an=2+(R+1)=2+n+2
2
n-1
n-1
n-1
n-1
とき
2(R+1)=
Ek+21
k=1
k=1
k=1
k=1
これはn=1のときも成り立つ。
-(n-1)n+n-1
+2
n'+n+2
ゆえに, 求める領域の個数は
2
ケニン
(2) 平行な2直線のうちの1本をlとすると, lを除く(n-1)
本は(1)の条件を満たすから, この(n-1)本の直線で分けら
八
れる領域の個数は(1)から
更に,直線を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の
直線と(n-2)個の点で交わり, (n-1)個の領域が増える。
よって, 求める領域の個数は
an-1
(1)の結果を利用。
an-i+(n-1)=
(an-1は,(1)のanでnの
代わりにn-1とおく。
n°+n
+ (n-1)=
2
2
