全て解き方を詳しく解説お願いします‼︎

( 月 日) 公式 得点 15 2次関数の最大・最小(2) □ 43 2次関数y=-x+x+α (1≦x≦4)の最小値が-2であるように, 定数αの値を定めよ。 6 軸たろ y=(x-stat9. x+6x-9 関数コー+x+aのグラフは上に凹の放物線で 400 車は直線である。OXであるから、まれはメンで 最小値なと. オシの 5ta=-2x)=7-7 lib/ta=5ta 2g 44αは正の定数とする。 y=-x+4x (0≦x≦a)の最大値を求めよ。 (15点) 中 ナチに上に凸で軸に直線X=2 7=-x+4x =-(x-+) = -x² + 4x+4 cocac2m² EL x=aで最小値-atta =-(x-2)-4 (2.4) 9:2 [2]ミスの 7:-4 X:2最小値 4 ✓ 45αは定数とする。 関数 y=x2-4ax (0≦x≦2) の最小値を求めよ。(20点) 7=9-4axε 変形すると(X-20+40 512acomme Da よって、x=0で最小値0をとる。 0 2 (0≦a≦2 よって、ケンで最 16 第3章 2次関数 -4a2 よっては牛ので 4- 002 値:89-4. 74 -8a+ をとる 2a (15点) □ 4 (1 (2) (3

二次関数のグラフのどこにx=0、5が位置するかで場合分けして解いたところa=7,6,-2,-3の4つが出てきたのですが答えはa=6,-3の2つになっています。 解き方が間違っているのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♀️

(2) 関数 y=-x^ taxia (0x5) の最大 値が3であるとき, 定数 αの値を求めよ。

すみません。ど忘れしました。誰か教えてください。 なぜπ/4＝−1で、9/4π＝1なんですか？ 教えてください

解 <三角関数の最大・最小、対数不等式, 3次不等式> ..... (1) t=sin+cose ･･････ ① とおくと t= (sin0+cost)=sin'0+cos20+2sinAcoso =1+2sincose sincosa= より これと①より t2-1 2 t2-1 sin+cos0+sinocosa=t+ 2 85 =/12 (2+1)-1-(t) とおく) とん )(am) 2 π ①より,t=√2sino+ 本)であり、02より T 4 ≤0+ 9 π 4 で VA あるから y= (t+1)²- 1si -1≦sin0+ 7) すなわち −√√2≤t≤√2 - 2 + 1-2 よって,f(t) は t=1のとき 最小値 -1 → 30) J2 0 t=√2 のとき 1 最大値 √2+ 2 ◆31) ~33) -√2 -1

三角関数の合成の公式の導出について。画像2枚目の下から5行目に正の定数とあります。定数でなければいけないのは分かりますが、内積の公式には絶対値がついているのに、なぜわざわざ「正の」定数と正であることを強調しているのですか。

OB· OC = (cis 6)·(3) COS \sin 3点0(0, 0) B(cos 0, sin 0), C(2, 3) をとると, B(cos 0, sin OBOC= =2 cos 0+3 sin0=f(0) です. 一方,図のようにβを定めると, cos ∠BOC = cos (0-β) なので, OBOC=|OB||OC|cos(0-B) =1.√22+32・cos (0-B) B(cos 0, sin e) =√13 cos(0-B) です。 この2つの考察を見くらべて Y C(2,3) 200 X B

この例題において、増減表を書く時赤丸で囲ってあるところがなぜそのように書けるのかが分かりません。どうやってそう判断してるのですか？教えて欲しいです🙏

。 6章 37 3 最大値・最小値、 方程式・不等式 基本 例題217 最大値・最小値から3次関数の決定 00000 <a<3とする。 関数f(x)=2x-3ax2+b (0≦x≦) の最大値が10. 最小値が 18のとき, 定数a, bの値を求めよ。 指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。 解答 基本211 11の増減表から最小値はわかるが,最大値は候補が2つ出てくる。よって、その最大 値の候補の大小を比較しαの値で場合分けをして最大値をα 6で表す。 f(x)=6x2-6ax=6x(x-a) f(x) = 0 とすると x=0,a 0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x)の増減表は次の ようになる。 Xx 0 f'(x) f(x) 00 3 335 値を求めよ 基本 数になる。 主意。 含むときの注意点。 の3次関数になる。 る。 1=21 極小 b-a b-27a+54 よって, 最小値はf(α) = b-αであり b-α=-18 y f(0) f (3) を比較すると 最大値はf(0)=b または f(3)=6-27a+54 ①最大・最小 また, ① < (最小値) =-18 極値と端の値をチェック (3)-f(0)=-27a+54=-27(a-2) ①大小比較は差を作る ゆえに 0<a<2 のとき (0) (3) 0 2≦a<3のとき(3)(0) 2 [1]0<a<2のとき,最大値は よって f(3)=6-27a+54 b-27a+54=10 すなわち 6=27a-44 (最大値) = 10 最小 これを①に代入して整理すると a-27a+26=0 条件。 ゆえに (a-1)(a²+a-26)=0 2>0 1 10-27 26 1 1-26 _M=logaM* 1±105 +10gaN=loga. よって a=1, 11-26 0 2 0<a< 2 を満たすものは a=1 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 このとき ①から b=-17 [ [2] 2≦a<3のとき,最大値は f(0)=b 最大 よって b=10 これを①に代入して整理すると Xの値を求 を求めよ a3=28 2833 であるから, a=28>3となり、不適。 [1],[2] から 練習 a=1, 6=-17 (最大値) = 10 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 a,bは定数とし, 0<a<1とする。 関数 f(x)=x+3ax2+b (−2≦x≦1) の最大 217 値が 1, 最小値が-5となるような α, bの値を求めよ。 [類 大阪市大〕 (p.344 EX140

この例題の問題において、なぜαが2<α<3と断定できるか分かりません。教えて欲しいです🙏

332 重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小 0000 f(x)=x-6x2+9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値 M(a)を めよ。 創立 指針 まず,y=f(x)のグラフをかく。次に,幅1の区間α≦x≦a+1 しながら、f(x) の最大値を考える。 基本213 をx軸上で左側から移 なお、区間内でグラフが 右上がりならM(α)=f(a+1), 右下がりならM(a)=f(a) また,区間内に極大値を与える点を含めば,M(a) = (極大値) となる。 また期的に小を与える点を含むときは、バーバ(+1)となるとのあり CHART 区間における最大・最小 極値と端の値をチェック 解答 基本例 0≤x<27 のときの 指針ます を利 Cos よな f'(x)=3x2-12x+9 xC 1 3 ... [1] 区間の右端で最大 =3(x-1)(x-3) f'(x) + 0 20 + |極大 極小| CHAI 解答 y f'(x) =0 とすると x=1,3 f(x)> 4 0 -最大 増減表から,y=f(x) のグラフは 図のようになる。 YA y=f(x)| [ [1] a+1 <1 すなわち α0のとき 4 3 M(a)=f(a+1) [2] [3] =(a+1)-6(a+1)+9(a+1) [4] YA a O 1 Na+1 [2] (極大値) = (最大値) COS x = Dyをt =α-3a2+4 1 最大 4F [2] a<1≦a +1 すなわち a01 a 3a+1 x 0≦a <1のとき y=0 a+1 M(a)=f(1)=4 -1 Oa1 3 I 次に, 2<α<3のとき f(a)=f(a+1) とすると a+1 表は a3-6a2+9a-a³-3a²+4 ゆえに 32-9α+4=0 [3] 区間の左端で最大 よっ YA -(-9)±√(-9)-4・3・4 9±√33 4F よって d= = 2.3 6 9+√33 2 <α <3 であるから, 5<√33<6に注意してα= t= 60 a+1 [3] 1≦a< 9+√33 のとき M(a)=f(a)=α-6a²+9a O 1 a 3 a a+1 t= ![4] 9+√33 [4] 区間の右端で最大 ≦αのとき 6 M(a)=f(a+1)=α-3a²+4 YA 以上から a< 0, 9+√33 4-71 6 ≦a のとき M(a)=a-3a²+4; 0≦a<1のとき M (α)=4; 9+√33 1≦a< 6 のとき M(a)=α-6a2+9a 補羽 f(x)=r3-3r²-9rとする 反くりには a Lati 1 13 a à+1 f(m) の最小値m(t) を求

この問題のx^3-2ax^2+a^2x-4a^3/27=0っていう式があって、それを(x-a/3)^2(x-4a/3)=0と途中を省略して因数分解されているのですが、どのようにしてこの式を因数分解するのか分かりません。下の注意に(x-a/3)^2で割り切れるっていうのは理解... 続きを読む

の手順で塗り a 値M (α) を求めよ。 を正の定数とする。 3次関数 f(x)=x3-2ax2+a'x の 0≦x≦1 における最大 む 3次関数の最大・最小 331 00000 [類 立命館大 ] 基本211 重要 214 指針▷ 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題 211 と同じ要領で, 極値と区間の端 での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x)の値の変化を調べると,y=f(x)のグラフは右図のようにな 合分けを行う。 よって、量α( <a CHAN 3 小 (これをαとする) があることに注意が必要。 る(原点を通る)。ここで,x=/1/3以外にf(x)=(1/3)を満たす f() Kα が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場 0 a a x 3 ☑ 変数の3枚ま とにかく文字を 6章 37 最大値・最小値 芳和 になるように 解答 f'(x)=3x2-4ax+α =(3x-a)(x-a) 高さ ) は右のようになる。 ここで,x=1/3以外にf(x)= x f(x)=0とすると a x= a 3 f'(x) + 極42 |極大 極小 a>0であるから,f(x)の増減表 f(x) 4 27 93 a 1430 a 0 + f(x)=x(x2-2ax+α2) =x(x-α)2から ƒ(3)=(-a)²=a³ [1] YA 03 27 0 4 27 含まれ つ端の ゆえに(x1/3)(x-01/30)=0 4 27 f(x)=1/17から x3-2ax2+ax-md=0 a -αを満たすxの値を求めると (1+ a2-2a+1 最大 1 1 4 -- O 27 1 a 4-3 a 4 > [s] a x+ であるから x= -a 4 3 [2] y 記入し したがって, f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (a) は 4 最大 a³ 以上から 4' a ] 1</1/3 すなわち α>3のとき 4 [2]1/35 1/2/3 すなわち 24as3のとき M(a)=(1/3) 3 [3] 0</a<1 すなわち 0<a< 2 のとき De+ <a<2,3<a のとき ( 0 M(a)=f(1) a 1 a 4 3 a [3] YA M(a)=f(1) a2-2a+1 最大 [8] M(a)=a-2a+1 したがって 3 4 (D) M ≦a≦3のとき M(a)=a³ 10 a a 4 4 27 3 al x 注意 (*) 曲線 y=f(x)と直線y= 12/27は,x= 12/17 の点において接するか a³ 27 (x-1) で割り切れる。このことを利用して因数分解している。 練習 3 3 2 定数とする。関数f(x)= + 3 2 >021 ax-axaの区間 0≦x≦2 にお

この問題において、円柱の高さを2hとして2hの範囲を0<2h<2aと指定しますが、どうしてこの範囲が指定できるのでしょうか？なぜこの範囲になるのか分かりません。教えて欲しいです🙏

基本 例題 ZI 半径αの球に内接する円柱の体積の最大値 さを求めよ。 01+5x0 柱の高 [類 群馬] 基本211) ( 指針≫ 値M 指針 文章題では,最大値・最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。次の手順で進める。 解答 ① 変数を決め、その変域を調べる。 ☑ 大量 ②最大値を求める量(ここでは円柱の体積)を,変数の式で表す。 32 の関数の最大値を求める。 なお、この問題では, 求める量が, 変数の3次式で なお、直ちに1つの文字で表すことは難しいから, わからないものは,とにかく文字を使 されるから,最大値を求めるのに導関数を用いて増減を調べる。 って表し、条件から文字を減らしていくとよい。 ならば、 ただし、 円柱の高さを2h(0<2h<2a) とし, 底面の半径をすると r²=a²-h² ◄計算がらくになるように 2h とする。 三平方の定理 解 f(x) 変数 を確認。 f(x 0<2h<2a から 0<h<a 円柱の体積をVとすると V=лr² 2h=2(a²-h²)h =-27(h³-a2h) Vをんで微分すると V'=-2π (3h²-α²) =2√3h+α)(√3h-α) 0 <h<αにおいて, V' = 0 となる 22 (円柱の体積 =(底面積)×(高さ) a> は右 こ dV をV'で表す。 dh f( a h 0 a a √3 のは,h= のときである。 √3 V' + 0 ゆえに, 0<< α における Vの増 減表は,右のようになる。 V | 極大 h = 0, a は変域に含まれて いないから変域の端の値 に対するVの値は記入し ていない。 ゆ し 0 今後,本書の増減表は,こ の方針で書く。 したがって,Vはん= のとき最大となる。 a 100 h= = 1/3のとき、円柱の高さは2. a 2√3 2. 3 a 3 12h 体積は22 a 4√3 = /3 9 2л(a²-h²)h よって 体積の最大値 4√3 TS 8= Jet 9 そのときの円柱の高さ 2√3 a 3 される

　（ⅱ）についてです。波線の下の二つの式は最小値mの範囲についての式であっていますか？？ 　また、その下の丸をつけた式は何を表しているのですか？ 　上の二つの式を範囲だと考えてそれぞれの範囲を代入したら3枚目の写真のようになりました。最小値の取りうる範囲の最大は13であって... 続きを読む

(-2)2110-4 (x-2516 【3】 関数f(x)=x2 - 4x + 10 に対し, 放物線 Cl:y=f( る。次の問いに答えよ。ただし,(1)は結果のみを記入し,(2),(3)は結果のみではなく、 考え方の筋道も記せ。 =f(x)の頂点の座標を (a, b) とす 94-c (1)(i) a b の値をそれぞれ求めよ. 516774710 ル ( (2) tを実数の定数とする. 9=2.526 1≦x≦3 における f(x) の最大値と最小値をそれぞれ求めよ. 頂点の座標が(a+t. b-t) となるようにCを平行移動してできる放物線をK とし,Kの方程式をy=g(x) とする. (i)Kがx軸の負の部分と接するとき, tの値を求めよ. 求めよ. ()Kが第3象限と第4象限の両方を通るとき,tのとり得る値の範囲を求めよ。 ()Kが第3象限を通り,かつ第4象限を通らないときのとり得る値の範囲を なお,「象限」とは座標軸によって区切られた座標平面の4つの部分 (座標軸は 含まない)のことであり, 第1~第4象限の位置は下図の通りである. (x-2) 704 X-2146 (x(-9-4))² th-te y 第 2 象限 第1象限 x 第3象限 第4象限 x2+2(-a-c)x+a42ac 15- -29x-2+x (3)(2)のg(x)において①≦t≦3 とする. また,xが3t≦x≦12-tの範囲を動くときのg(x) の最小値をm(t) とする. (i) (t) をt を用いて表せ. () tが0≦t≦3の範囲を動くときのm (t) のとり得る値の範囲を求めよ. -2012+x £2a-2dx (50点) 10²+2a+174770 16 +bxe

増減表がうまく書けません なんで➖ -2➕になるんですか？

48 第4章 微分法の応用 19 関数の最大と最小 最大 最小 64 次の関数の最大値、最小値を求めよ。 y=sin 2x+2sinx (0 ≤x≤x) (2) y=x√2-x² ポイント 関数の最大 最小 定義域の範囲で増減表を作る。 極値と区間 の両端における関数の値を比較する。 (2) 定義域は2x20 を解いて - 26 サクシード数学Ⅲ との正の部分とある (m<0 直線の方程式は 66 直線の傾きを とすると, 条件から y-8=m(x-1) すなわち y=mx-m+8 ...... ① ① で y=0 とすると 0=mx-m+8 A 8 よって x=- m-8 m ① で x=0 とすると y=-m+8 ゆえに, P, Qの座標は O 1 P P(m-8,0), Q(0, m+8) よって PQ2(m-8)2 +(-m+8)^= (m-8)2(m2+1) ma m² 第1象限にあるお 通り、座標軸の と交わる ゆえに S m² m ( 2(m-8)(m3+8) m f(m) の計算がらく x>0にお なる。 よって, S>0で も最小 したが なるように,f(m) 68 する。 y' y y"= x< 65 関数y=a(x-sin2x) ≦xi 最大・最小 の最大値がである と 決定 ように、定数αの値を定めよ。 ☆☆☆ ポイント2 最大値をαで表し, = とする。 y'=α(1-2cos2x) であるか ら,a=0,a>0, a<0 で場合を分けて考える。 最大 最小 66点A(1,8)を通る直線が,x軸,y軸の正の部分と交わる点 P,Q とする。 線分 PQ の長さが最小となるときの直線の傾 の文章題 きを求めよ。 ポイント③ 文章題(最大、最小)の解法 変数を適当に選び, 求める量を関数として表す。 定義域に注意 して、その関数の最大値、最小値を求める。 PQ2=f(m) とおくと f(m) = (m-8)21+ -8)(1+)+ +(m-8)2/ f'(m)=2(m-8)(1+ m 2(m-8){m(m²+1)-(m-8)) m 2m-8)(m+2)(m2-2m+4)T- m 正 <0 における f(m) の増減表は右のよ うになる。 m -2 0 よって, f(m) すなわち PQ2はm=-2 のとき最小になる。 f'(m) - 0 + f(m) 125 A PQ> 0 であるから, PQ2 が最小となる とき, PQ も最小となる。 したがって, 求める直線の傾きは 2 67 直円錐の底面の円の半径をx, 母線 の長さをy (x>0, y>0) とする。 ☆☆☆ 最大・最小 67 体積が2 の文章題 である直円錐の形をした容器を作る。 側面積 体積が2 であるから を最小にするには、底面の円の半径をどのようにすればよいか。 ポイント上の3と同じ。 側面を展開すると扇形になる。 √2 って x²√y²-x²=√2 ...... ① 重要事項 ◆関数f(x) (a≦x≦b) の最大、最小 f(x)の極値と区間の両端の値(a)(b)との大小を調べて、決定する。 増減表を 利用する。 f(x)に不連続なxの値があれば、その付近のf(x) の値に注意する。 ①から y=x2+2/24 側面を展開してできる扇形について、 半径はy, 弧の長さは2mxであるから, 側面積をSとすると 2xx S-123-2xx=exy ←m² -2m+4 =(-1)+3> 0 1< まゆ 69 ← 半径が、 弧の長さ の扇形の面積は と ①の両辺を2乗す =2