数Ⅲの極限です。 マーカー部分なのですが、上では＜だったのに下で突然≦になったのは何故でしょうか？ なにか意図があって変えているんですか？それとも極限を求めるにあたって=の有無はどうでもいいから付けといたみたいな感じですか？💦

9 はさみうちの原理 a1=0, an+1= 4 (1) 0≦a<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ. (2) 1-an+1< が成り立つことを示せ . 1-an 2 (3) liman を求めよ. n→∞ an²+36 FESJARIL (n=1, 2, ......) で定義される数列{an} について 1 2n-1 (1)により, 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1=f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある. 1°am の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, liman+1 = α であるから, αは α = f(α) を 満たす. これからαの値を予想する. n→∞0 n→∞0 2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f (α) の辺々を引くと, an+1- α = f(an) - f(a) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦ん<1である定数 ..☆ の形の不等式を導く.すると,|an-α|≦klan-1-a|≦ke|an-2-a|≦... ≦kn-1|a-a| 0≦an-akskn-1|α1-α| limk"-1|a-α|=0 であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0 言解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立,つまり 0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について, 0≤ak+1 <1 4 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された . DATART an² +3 1-an (2) 漸化式から, 1-an+1=1- (1-an) 4 4 1-an>0であるから, 1+ an 4 n→∞ (なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →α とは結論できない) 02312+3 -≤ak+1 <= < 1+1=1/12/2 4 .. 1-an+1< -1</2/(1-an) (3) 1-a>0と①を繰り返し用いることにより, 1 1 0≤1-an < (1-an-1)< (1- -an-2)<... <- 22 2n-1 1tan_ 4 (解答は27) -(1-a₁)= - 0 より はさみうちの原理から lim (1-4m) = 0 n-00 1 2n-1 liman=1 (岡山県大・情報工-中) 1118 :. an→α (n→∞) 0≦x<1のとき,02≦a² <12 ←漸化式を用いて1-Qn+1 を anで 表す. 本問の場合、求める極限値をα として, 1° を使うと, a²+3 α= 4 からαの値が予想できる. a=1, 3

(3)のn大なりイコール2とありますがこれはなぜですか？

152 00000 重要 例題 95 漸化式と極限(はさみうち) [類 神戸大] 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ......) によって定められる数列 {an} について,次の (1) (2) (3) を示せ。 (2) 3-an+1<. (1) 0<an<3 ART O SOLUTION 求めにくい極限 CHART はさみうちの原理を利用薫さら 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 各小問を次の方針で 考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。 0<a<3 を仮定する。 (2) 漸化式を用いて an+1 を an で表し, (1) の結果を利用する。 (3) (1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を使って, 数列 {3-an ..... の極限を求める。 ・・・・・!!! はさみうちの原理 すべての自然数nについて ann≦b のとき liman=limbn=α ならば limC=α →∞ 11-00 解答 (1) 0<a<3 ①とする｡ [1] n=1のとき, 条件から0<a<3 が成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1 のとき <(3—an) 3-ax+1=3-(1+√1+ax)=2√1+ak ここで, 0<a<3 の仮定から 1 <1+an<4 ゆえに 1 <√1+a2 よって, 2-√1+αk >0 であるから 3-4k+1 0 すなわち k+1 <3 また,漸化式の形から明らかに 0<ak+1 (3) liman=3 ゆえに, 0 <ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は成 り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nに対して①が成り立つ。 ■3-an+1=3-(1+√1+an)=2√1+an (2−√1+an)(2+√1+an) _4-(1+an)_²1 2+√1+an 2+√1+an -(3-a) ( 141 基本事項 3 基本88 数学的帰納法で示す。 ◆n=k+1 のときも 0 < ak+1 <3 すなわち 0 < akt かつ ak+1 <3 が成り立つことを示す。 漸化式から。 分子を有理化。 3-An ここで(1)の結 2+√1+a, </ 3-an+1< <1/13(3-4) (2)の結果から、n=2のとき ② ③ から よって ここで, lim a<3-a<3(3-a-1<3) (3-2)+LE? 0<3-a₂ < (3) m (2) (3- 100 < (1) ²(3-as) がって n-1 liman=3 11-00 lim (3-an)=0 121-00 >3であるから (3-as) 72-00 2+√ltan (3-α) = 0 であるから a>b>0のとき 1 1</ -(3-On) 3 (3-0) 3-an-1 小さいから成り立つ</a 仮定すると, liman+1= α であることから, α=1+√1+α が成り立つ。 |これから,α-1=√1+α であり,この式の両辺を2乗して a²-3α=0 整理すると ゆえに,α(α-3)=0,α> 0 から, α=3であると予想でき る。これを.149のズームUPのようにグラフで確認して みると、 右の図のように極限値が3となることが確かめら </1/3 (3-an-²) はさみうちの原理 INFORMATION 複雑な漸化式で定められた数列の極限 /an+1=1+√1+an, 0<a<3 で定義される数列{an} について, lima =α であると 72-00 y 3 y=1+√1+x 21 153 10 a₁ y=x Az az 3 れる｡ なお,この無理式で与えられた漸化式から一般項 α を求め, 直接 lima =3である ことを示すことは難しいので, lim (3-α)=0を示そうとして (2) の誘導の不等式が 与えられているのである。 2240 4章 10 数列の極限 PRACTICE・・・ 95 ④ u=a (0<a<1), an+1=-120'12/24%(n=1,2,3,..) によって定められる数 列{an} について,次の (1), (2) を示せ。 また, (3) を求めよ。 (1) 0<an<1 (2) r=a2のとき 1-ty≦r (1-an) (n=1, 2, 3, ......) と演習) [鳥取大) ヨチャート の紹介 本質を 全に定 に問 関大 参考書 題学信

青線部を教えてください

■bm となる定数の ■奈川大 ] す。 ★★★ 列{an}について 2 7 10 --1998 17 [11-1/30円 a₁-1 1+1 n-1 -=1, 例題124 2an-1 an+1 {an} について AST [埼玉大) 練習 例題 126 漸化式と極限 (3) 2つの数列{an}と{bn}が,a=1,b=1, an+1=2an+66n, bn+1=2a+36 で 定められている。 (1) an+2-Qan+1=β (an+1 - aan) を満たす定数α, βの組を2組求めよ。 [類宮崎大〕 (2) an を,nを用いて表せ。 (1) 1つ目の漸化式から bm= 6 bn 解答 (1) an+1=2an+66 から これとbn+1=2an+36 から よって an+2+an+1=6(an+1+an) an+2-6an+1=-(an+1-6an) 2つの数列{an}, {bn}の一般項an, bn を求めてから極限を求める。 an+1-2an ゆえに, 求める α, βの組は これを2つ目の漸化式に代入して数列{an}の隣接3項間の漸化式を作る。 例題124(2) の要領で, 特性方程式を用いて α, βの組を求める。 (3) bn=- bn= よって |126] (3) 極限値 lim 11-0 (a,β)=(-1,6),(6,-1) (2) an+1=2an+66 において n=1 とするとaz=2a1+6b1=8 ① から, 数列 {an+1+an} は初項a2+α=9,公比6の等比 数列で an+1+an=9・6n-1 3 ② から 数列{an+1-6an} は初項 α2-6a1= 等比数列で an+1-6an=2(-1)^-1 ③ ④ から an an+1-2an 6 9.6"-2(-1)" 7 an bn an+1-2an 6 9.6-¹-2(-1)^-1 7 と ⑤ から ta=m n-1 lim (-/-)" - = 0 であるから n-0 an+2-5an+1-6an=0 Date 9.6"-¹-2(-1)-10 7 9・6"-1-2(-1)n−1 6"+(-1)"-1 --2-- 6 9.6"-2(-1)"-18・6"'+4(-1)-1 6"+(-1)^-1 42 7 9-2 (-1/2)^²-² 1 6 lim 118 an bn 6+ す平面上の点列 Pn(xn,")が なく近づくことを証 an 9 bn 6 1 4 3 P₁(1, 1), Xn+1=Xn+ 5 Yn. Yn+1 = - を求めよ。 1 の 2,公比 (4) ⑤ 3 2 n-1 ◆例題 124 P2. <b, bn+1 を消去して 整理。 特性方程式 x2-5x-6=0 の解 はx=-1,6 an+1 を消去して整 理。 18.6"-L=3.6” 分母・分子を 6-1 で割る。 1 xn+yn (n=1,2,……)を満た 5 はある に限り [大] 213 4章 18 無限等比数列

四角く囲ったところがなぜこうなるのか分かりません。 教えていただけると助かります！

192 00000 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ･･･はさみうちの原理 | 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...….) を満たすとき 1 (2) 3-an+1</(3-4²) を証明せよ。 3 (1) 0<a<3を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針▷(1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法 の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 式を利用し、はさみうちの原理を使って数列{3-an}の極限を求める。 ..... はさみうちの原理 すべてのnについて pn≦an ≦ gn のとき limp=limgn=α ならば liman=α noo なお、次ページの補足事項も参照。 lim n→∞ 1240 (1,1).9 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (3)(1)(2) から n-1 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+ak >2>0 ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 SE よって,n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ① は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-√1+an 3-An 2+√1+an <= (3-an) したがって [類 神戸大] [Op.174 基本事項 ③3,基本 105 0<3-an≤(1) ¹(3-a₁) 1248 - (3-α1) = 0 であるから lim(3-an)=0 liman=3L n→∞ n→∞0 1 【数学的帰納法による。 <0<a<3 0<a から √1+αk>1 ak<3から √1+αk <2 3-an>0であり、a>0か ら 2+√1+an> 3 n≧2のとき、(2) から 3-an < (3-an-1) <(1/2)(32)

数Ⅲ　数学的帰納法 クリアー数Ⅲ practice11 (1) 首都大東京　の問題です。 写真にあるように、不等式に1が含まれる条件がわからないので教えていただきたいです。

Practice 11 ***** - 1/12 (an (an²+b) (n=1,2,...) で定められる数列{an}がある。 EU ai = a, an+1= ただし, 0≦a≦1,0≦b<1 とし, c=1-√1-6 とおく。 (1) Man≦1 が成り立つことを示せ。 (2) an+1- -C (3) limam=c が成り立つことを示せ。 n→∞ 1/12 (an+c)(an-c)が成り立つことを示せ。 [16 首都大東京〕

左下の🟥で囲ったとこなんですが＝がついてるのは何故でしょうか？ 左上の🟦が示せているので＝はつかないと思ったのですが。 よろしくお願いします。

an²+3 4 (n=1, 2, ……) で定義される数列{an}について a1=0, an+1 (1) 0≦an<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ. 1-an (2) 1-an+1< が成り立つことを示せ . 2 (3) liman を求めよ. n→∞ 1 2n-1 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として,以下の方法がある. an の極限が存在して,その値がαならば, lima,=α, lima,+1=α であるから, αはα = f(α) を 1° 満たす.これからαの値を予想する. 2°与えられた漸化式 an+1=f(a) と α = f(α)の辺々を引くと, an+1-α=f(a) - f(α) となる が,これから, |an+1-α|≦k|an-αl, kは 0≦x<1である定数・ の形の不等式を導く. すると,|an-al≦klan-1-al≦k2|an-2-al≦..≦kn-1|a-a| 0≦an-a|≦kn-1|α-a| limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0 n→∞ · ≤ak+1<- 解答量 (1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n =kでの成立,つまり0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について, 02+3 12+3 .. 0≦ak+1 <1 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された. an²2+3 1-an² 2 1+ an (2) 漸化式から, 1-an+1=1-- (1-an) 4 4 4 (1)により tan1+1=1/21-0,>0であるから, 4 = 1-a₂+1 <1/12/2 (3) 1-a>0と、① を繰り返し用いることにより, 01-an</(1-an-1) 22 (1-0₁-2) <... < ・(1- 2² (なお、要点の整理・例題 (8) からのkは定数でないと, an→α とは結論できない) -(1-an) (1 n→∞ 2n-1 n→∞ (1−1)=1 →0より, はさみうちの原理から lim (1-am) = 0 n→∞ HAS 2n-1 liman=1 118 (岡山県大情報工-中 an→α (n→∞) 0≦x<1のとき,02≦ak2/12 漸化式を用いて 1-an+1 を an 表す. a= 本問の場合、求める極限値を として, 1° を使うと, a²+3 4 からαの値が予想できる. ∴.α=1,3

数3です。 この式変形を教えてください。

192 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき (2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<a<3 を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 ! 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき limp=limgn=α ならば n-00 7140 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+an>2> 0 練習 ③ 113 .….... ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。 3-An -(3-an) (2) 3-an+1=2-√1+an 2+√1+an (3)(1),(2) から 0<3-an S したがって liml 2 (13) (34)=0であるから 11-00 lim(3-an)=0 1400 liman=3 n-1 ≤ (1) ² (3-a₁) 3 n-00 LE a=2, n≧2のとき an liman = a n→∞ 3 2 [類 神戸 p.174 基本事項 3 基本 105 van-1 1 数学的帰納法による。 ◄0<a₁<3 KOM 0<a から √1+an>1 an<3から √1+ak <2 <3-α>0であり、a>0か ら 2+√1+an>3 n≧2のとき, (2) から 3-an< (3-an-1) <(1) ²(3-an-2)..... n-1 · < (-/-) "¹¹ (3-as) 3 を満たす数列{an}について

丸つけているところの展開の仕方がわかりません！

・隣接3項間 基本 例題110 漸化式と極限 (2)、 00000 その条件によって褒められる数列 (c) の極限値を求めよ。 1 2=1, -(an+1+3an) 4 計方針は基本例題109と同じく,一般項an をnで表してから極限を求める 方般3項間漸化式でその支解をすると、そのとおいたの2次方程式 M ( 特性方程式) を解く。 その2解をα, βとすると、Bのとき の2通りに変形できる。 この変形を利用して解決する。 なお, 特性方程式の解に1を含むときは, 階差数列 が利用できる。 解答 与えられた漸化式を変形すると (1+1—an) an+2an+1 ゆえに, 数列{an+1-an} は初項1,公比 - - an+2)adn+1=β(an+1-Qan), an+2-Ban+1=0(a.ti-Ba.) an=a+ よって, n ≧2のとき 3\n-1 ²x = (-³) -¹ an+1_an= +(-3)*¹²* k=1\ k-1 よって n→∞ =0+ liman= 1-(-3)^²-² 1-(-³) 07 4 -lim-/-(1-(-3)^¹-¹) = 4 また a2-a=1-0=1 の等比数列で 1 3 4 n-1 -40-(-3)) したがって 注意 この問題のように, 単に数列{an}の極限を求めるときは, 2のときだけを考えてかまわない。つまり, n=1の ときの確認は必要ない。 n-11 別解 [am の求め方] 与えられた漸化式を変形すると 3 3 an+2an+1=- (an+1-an), an+2+ an+1=an+1+ 4 4 -7a₁-(-3) ³-²-1 an= P.176 まとめ 基本 109 3 4 a.- -/- (1-(-3)^"") an 3 4 025 -0.-(-3). am + fama+fa=1 ゆえに an+1-an=| -an = 3 an+1+ 4an=a₂+₁ 491=1 辺々引いて an =(x+3) を解くと 4x2=x+3 4x2-x-3=0 (x-1)(4x+3)=0 よって x=1, 3 4 {an}の階差数列{bn}が かれば,n≧2のとき n-1 an=a₁+Σbk k=1 18 Aa=1, B=- 極限を求めるとは, n→∞ の場合を考 -3/2 3 4' とα=- β= 場合の2通りで Man+1 を消去。

数列の極限をはさみうちの原理によって求める問題です。(3)についてです。 ①この解法は数列の二項間に関する不等式をつくり繰り返し用いる事で【anが使われていない初項の式】まで辿り着くことを利用して、数列を極限0になる式ではさんでいるという解釈であっていますか？ ②黄色部... 続きを読む

9 はさみうちの原理 an 22+3 4 (1) 0≦x<1が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ . が成り立つことを示せ . (1) により, a=0, an+1= l-an (2) 1-an+1 2 (3) liman を求めよ. n10 解けない2項間漸化式と極限 an+1=f(am) で定まる数列の極限値を求める定石として、以下の方法がある. 1° 満たす. これからαの値を予想する. an の極限が存在して,その値がαならば,liman = a, lim an+1=αであるから,αはα=f(α) を 11-0 1118 2°与えられた漸化式 Qm+1=f(am) と α=f(a) の辺々を引くと, an+1-α=f(am)- f(α) となる が.これから |anti-a|≦klan-al, kは 0≦k<1である定数・ の形の不等式を導く。すると,|an-a|≦k|an-1-a|≦k2|an-2-a|≦…≦k"-1|a-a| • 0≤la₂-al≤k"-¹|a₁-al limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0 ¥80 (n=1, 2, ...･･･) で定義される数列{an} について 4 -≤ak+1<. ■解答量 (1) nに関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立, つまり0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について, 02+3 12+3 0≦ak+1 <1 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された. an² +3 1-a₂² 2 (2) 漸化式から, 1-an+1=1- 1+ an .(1-an) 4 4 4 1+1 < 4 1+an 4 = (なお、要点の整理・例題 (8) から, ☆のkは定数でないと, am →αとは結論できない) 1 2' 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 1 - a>0であるから, 1-an+1</(1-an) (3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより, 1 0≤1 - an</21 (1-ªn-1) < 12 (1-ªn-2) <--< -2 ²-₁ (1-₁) = 1 2n-1 1 -→0より, はさみうちの原理から lim (1−a)=0 2n-1 n→∞ 9 演習題(解答は p.27 ) 1 数列 an (n=1, 2, …) は, a1=0, an+1 .". 1 22-1 liman=1 (岡山県大情報工- 1110 ① .. an→α (n→∞) 0≦x<1のとき, 02≦² a= 漸化式を用いて1-Qn+1 を 表す. 本問の場合, 求める極限値 として, 1° を使うと, a²+3 α=1, 4 からαの値が予想できる. ..

(3)ですが、漸化式として扱うと3枚目写真のようになってしまい、解答と異なってしまうのですが、どこから誤りでしょうか？

00000 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) 9 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ....･･) を満たすとき (1) 0<a<3を証明せよ。 (3) 数列{an}の極限値を求めよ。 はさみうちの原理 (2) 3-an+1<1/13 (3-an) を証明せよ。 [類 神戸大] p.174 基本事項 3 基本 105