数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

(1)を有理化で解くのはダメなんですか？

[(2)] などの形になってしま 178 無理式など 基本 例題102 数列の極限 (2) (3) +2n (2)ファー 4n V2n+1-V2n n?+2n +n (4) log2/3 (5) cos nπ 1 (2)」などの形になって、 ○○ -O (2(3) 有理化 を利用する。 (2) では分母を有理化, (3)では分子の /n+2n -n を有理化する。 (4) loga M*=klogaM を利用 (a>0, aキ1,M>0)。 (5) カ=1, 2, 3, … と順に代入し, 数列の規則性に注目。 有理 (Va-) =Da-b CHART 無理式の極限 ○○-8 は有理化 解答 4 =2 2 4 4n 三 7(1) lim =lim 2 +1 n Co Vn+2n +n n→0 1+ 81U /2n+1 +V2n -=lim (2n+1)-2n 1 2) lim 2n+1-V2n n→0 n→0 =lim(/2n+1 +V2n)=8 n→0 n+2n-n° n+2n +n 0 lim(Vn°+2n-n)=lim n→0 n→0 2n =lim Vn°+2n +n =lim- 2 8↑W n→ 1+2 +1

（2）の√2n＋1＋√2nをなぜ（3）のように再度不定形としてlim√2＋1/n+√2=2√2としないのか誰か理由をおしえてください

145 数列の極限(2) 無理式の形など 基本例題 88 基本 87 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 4n 1 (3) Vn°+n-Vn?-n 4章 n+2n +n 2n+1 2n 14 (4) 1og2/3 [(3) 明治大) COS nπ 数 列 1 指針>(1)~(3) そのまま求めると一(1]や の [(2)] などの形になってしまう,不定形の 極 限 極限である。よって,極限を求められる形に変形 する工夫が必要。 (1) 前ページの基本例題87(2)(ウ) と同様に,分母·分子をnで割る。 (2), (3) 有理化 を利用する。(2)では分母を有理化, (3)では分子の(n+n-\n°-n を有理化する。 (4) loga M*=kloga M を利用(a>0, aキ1, M>0)。 (5) n=1, 2, 3,… と順に代入し,数列の規則性に注目。 有理化 (Va+V5)(Va-5) =a-b を利用 CHART 無理式の極限 ○-0は有理化 解答 4n =lim 4 4 2 4分母·分子をnで割る。 n>0 であるから、 『n°=n となる。 n°+2n +n 2 1+ +1 n n→0 n→0 2n+1+V2n (2n+1)-2n 1 (2) lim =lim イ分母·分子に 2n+1 -V2n n→0 n→0 2n+1 +(2n を掛ける。 =lim(V2n+1+V2n)=0 1→0 Vn'+n-\n°-n と考 (3) lim(Vn°+n ーVnーn)=lim 1 Vn+n+/nーn 1→0 カ→0 えて、分母·分子に 『+n+\nーn を掛ける。 イ分母·分子をnで割る。 2n 2 =lim lim /n°+n+Vn? 11 1+ n =1 1 n→00 n n→0 n (4) limlog2V3 =lim 1 -log23=0 (1og23 は定数。 n→0 れ→0 n (5)数列 {cos n}は 一定の値に収束せず,正の無限大にも負の無限大にも発散し ない。よって,振動する(極限はない)。 | cos nT=(-1)" 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 88 練習 ((2)京都産大) 2 2n+3 1 (3) n(n°+2 -Vn?+1) V3n+n+n Vn°+n-n Vn+1-Vn-1 Vn+3-/n V7 (5) log3 5" nπ (6) sin 2 (7) tan n

解説の7行目、ゆえに x＝yと書いてあるのですが、どうしてこうなるのですか？

よいが,無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利用して、 ソ=f(x)のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数kの値の範囲を求めよ。 f(x)=x°-2x千k(x21) の逆関数をf-'(x) とする。y=f(x) のグラフと の 重要 例題97)関数とその逆関数のグラフの共有点 指針> 逆関数f-'(x) を求め, 方程式f(x)=f-'(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考えても 題97)関数とその逆関数のグラフの共有点 ー2を (x21)の逆関数を「-'(x) とする。y=f(x) のグラフと ー(x)のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数kの値の範囲を求めよ。 基本 95 よいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利用して 次のように考えてみよう。 の に着目し,連立方程式 y=f(x), ここで,性質y=f"(x) → x=f(y) *ーアy)が異なる2つの実数解(の組)をもつ条件を考える。x, yの範囲にも注意。 … 解答 共有点の座標を(x, y) とすると ソ=f-(x)より X3DF(y) であるから, 次の連立方程式を考える。 参考 y=x°-2x+kとすると x°-2x+k-y=0 よってx=1±/1°-(k-y) x21からx=Vyーk+1 +1 xとyを入れ替えて,逆関数 は f-(x)=Vx-k+1+1 逆関数f-(x)の値域は, 関数 f(x)の定義域と一致す ソ=f(x) かつ y=f-'(x) O ソ=x°-2x+k(x21) x=y?-2y+k(y21)@ ソーx=(x+y)(x-y)-2(x-y) (x-y)(x+y-1)=0 の, D-2 から したがって A x21, y21であるから x+yー121 よって,求める条件は, x=x?-2x+kすなわち「x-3x+k=0 るから y>1 がx21の異なる2つの実数解をもつことである。B g(x)=x?-3x+kとし, g(x)=0 の判別式をDとすると [1] ゆえに、xーy 放物線とx軸がx21の 範囲の異なる2点で交わる条 件と同じ。 B D>0 から よって 9-4k>0 ゆえに kく 9 3 4 ソ=g(x) 3 [2] 放物線 y=g(x) の軸は直線×3D;で, 1<号である。 2 2 |こ [3] g(1)20から 12-3·1+kNO よって、k22、 の 9 0 x 3, ④の共通範囲をとって 2Sk< 4 2

極限の問題でこのような問題で有利化するときとしない時の違いを教えてください

DO 143 基本例題 8/ 数列の極限(無理式) 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 3n°+1 88 OOO00 1 +n (3)(n-3-/n 項2 n-v サ甲 An+[S |基本 86 CHARTO●。 OLUTION 無理式の極限 極限が求められる形に変形 を そのまま n→c とすると, (1) , (2) (3)818 の不定形の極限。 -8 整式や分数式と同じように, 極限が求められる形に変形する。 (1) 分母の最高次の項とみなされる/n+1の、?, すなわちnで分母· 分子を 割る。 (2), (3) 0-8の形を避けるため, 有理化を利用する。 (2) 分母を有理化すると, 1 の形から 0+0 の形に変形できる。あとは, ○○-0 → 0 -0 分母の最高次の項で, 分母 分子を割る。 n-3-/n 4章 -3 と考えて分子を有理化すると, 818 の形から の形に 1 ○+0 変形できる。 10 解答 2の 1 3+ V り出 13n+1 V3+0 n 『(1) lim lim 3 nーVn?+1+Vn V1+0+/0 aie-m山 1 1 1+ n° n→ 0 0= n n+\n+n (n-/n'+n)(n+/パナカ))m 1 『(2) lim =lim *分母を有理化。 2+m n→0 n-Vn^- n→ 0 1 n+/n°+n lim =-2 -分母,分子を分母の最高 n n+Vn+n =lim -10.0- 0) ーn 次の項nで割る。 n→o n 2→ 0 n→ 00 n (3) lim(n-3-/n)=lim n-3+/n 一分子を有理化。 n100,0+1) ml n→ 0 式 n→ 0 im -3 -n -=lim 合分子が定数で, (分母)→ 8 -=0 =lim n-3+/n カーVn-3+Vn n→0 :0 TO 『RACTICE …87② 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 1 4n-1 2/n-1 Vn+2n-Vn'-2n Vn+2-n-2 Vn+1-/n-1 4+ -2 (5)Vn?+2n+2-Vn°-n (6) nl [(2) 東京電機大 (5) 京都産大 (6) 名古屋市大] 数列の極限

なぜ(2)と(3)はそのまま1を代入して、極限値0としてはダメなのでしょうか？ 教えてください。

選 ! の@⑥のの〇 5あんこ (デー の 引 ーー (3) hm 9 =革本188 ) ! ァの義式で表される関数プ(x) については, g が関数の定義域に届するとき. 還 の 0 ニア() が成り立つ。これは, 極限値と関数の値が等しいということで. アー 2 とすることはャニ 2 を代入するのと同じである。 の) 機械的に *デ1 を代入すると, ともにす の形 (これを 不定形の極限 ということ がある) となって, (1) のようにはいかない。このような場合は, 関数の式を 極限値が求 ゅられる形に変形 する。 ー 2⑦ では, 分母・分子の式でヶニ1 を代入すると 0 になるから, ァー1 を因数にもつ。 よって, *ー1 で 約分 すると, 極限値が求められる形になる。 (3) では, 分子の無理式を 有理化 すると, *ー1 が現れるから, xー1 で 約分 できる。 」 | gg m(*デ3z十4 三22一3・2十4三2 」 | 四 2 コ ーー 記 1 1 = 2 US 、。 ②) ッニテー は*ー1 で定 lim(ァ計り2 義されないが, *ー> 1 と re は。*が1 とは異なる値を 2 とりながら 1 に近づくこと ド jm | メー1 であるから(左図参照 , ーー (7テーD(7テ1 *キ1 (すなわち xー1キ0) PU どして変形してよい。 ー 1 5 *ュ(テー1)(ツァ二1) 3

途中式を教えてください🙇‍♀️この極限値を求めたいです。答えは2です。

数学の黄チャートです （2）の最後のところで、 -6の方に等号が付いているのはなんでですか？ 教えてください🙇‍♀️

|多馬 () 無理方程式・不等式 ( @@の②@ () 関数 マニツェ6 のグラフと直線 ッニェ の共有点の座標を求めよ。 (2 不等式 yx+6>x を解け。 仙Ase 男ororros グラフ利用の無理方程式・不等式の解法 共有点 でつ> 実数解 上下関係 > 不震式 (!) 無理方程式 /x+6ニェ の実数解が共有点の座標である。/ をなくすた めに両辺を 2 乗する。このとき、 4ニニ と 4*=* は同値ではない ことに注 意。 (2) () のグラフの上下関係に着目して求める。 ……ロ| をカ し arT6 …①. でッー/5H のクラフは| の = のグラフを=夫 方に 6だけ平行動 したもの。 [本旨式を6方和 式・不等式をそれぞれ 無理 無理式 といい。 その解を求めることを解く という> のグラフは。 有図の実線部分の ようになる。 (り ⑪, @から な6ニャ・ 両辺を 2 乗すると のグラフより上側に 129