マーカーの部分の計算が分からないので教えてください🙏🏻

重要 例題 36 複素数平面上の点列 右の図のように,複素数平面の原点をPとし,P。 か yA ら実軸の正の方向に1進んだ点をPとする。 次に,P｣を中心として 回転して向きを変え、1/2 √2 S 進んだ点を P2 とする。以下同様に,P, に到達した後, Po CHART O OLUTION また よって 点列の問題 ベクトルと結びつけて考える P(zn) とすると PoPi=21-20, ......, P9P10=210-29 また π 回転してから前回進んだ距離の倍進んで到達する点を Pn+1 とする。 199 このとき,点P10 が表す複素数を求めよ。 [日本女子大] から PoP₁0=PoP₁+P₁P2+······+P9P10 Pn+1Pn+2はPnPn+iを今回転して, 倍したものである √√2 Zn+2 - Zn+1= -√2(cos+isin)(2x+1-22) .... 4 4 JORDA COS 解答 を0以上の整数とし, 点Pを表す複素数をzn とすると PP1=z-zo, PiP2=z2-Z1, PP10=210-29 9 PoP10=PP1+PP+・・・・・・+PP10 Z10(Z1-20)+(z2-21)+..+ (210-29 ) 11/12 (cos Atisin)=a Fα とおくと Zn+2Zn+1=0(n+1-zn) √√2 ① から 210=1+α(21-0)+α(22-21)+......+α(29-28) (*) ...... 4 [(*)の計算について] なお, Zo=0 である。 α(zz-z)=α2 (2ュー20) =a²z₁ ① α(23-22)=a2(22-21) Pa+uPnt2はP,Pnti を今回転して 1/1/12 倍したものであるから, =a³(z₁-zo)=a³z₁ MO3043ABC Pn 21 =z₁+azı+a²z₁+······+a³z₁=(1+a+a²+ +α²) z₁ = 1-i DOO 32-i 32 π PU 4 1 π P₂8T1 787 Pn+2 π 24. 10 1-a¹ 1-a α(29-28)=α2 (28-27 ) ===α(21-20)=α°z1 5 P+1 ai- (カ) (cus (1×10)+/sin (+×10)-(12)(con/1+isin/-/1/2 1=(1/2)(cos 10= 5 COS COS πtisin よって 2106=(1-532)=(1-1+2)×2=32-i_2 •1= -(1+i)=- x -21 32 33+31i 32 59 1章 3 複素数と図形

(2)は三角形OABは直角二等辺三角形であると答えたら減点されますか？

1410) 243, きる 基本例題 32 三角形の形状 (2) 異なる3点O(0), A(α), B(B) に対し, 等式20²-2a+β2 = 0 が成り立つとき a (1) の値を求めよ。 (2) △OAB はどんな形の三角形か。 B 指針 (1) 20 であるから,条件式の両辺を2で割ると、今の2次方程式が得られる。 1 や arg/ の図形的な意味を考える。 ゆえに (2) (1) で求めた CHART (α, βの2次式)=0と三角形の形状問題 a B したがって 1 1 12 (2) (1) から (キ 2√2 また 解答 (1) B≠0より, B2=0であるから, 等式2²-2aB+B2=0の 両辺を2で割ると 2 (1) 20 -2- | a すなわち. = a を極形式で表し (......!), a a B −(−1)± √(−1)²—2∙1 角二等辺三角形である。 別解 等式から ゆえにB (α-³) ²=- よって π また, arg1 = から <BOA- B したがって, △OAB は∠A= OAOB=1:√2 ... ・(αβの2次式) = 0 1/1/12 1/12 (cos(土) +isin (土) (複号同順) √√2 lal_OA 1 OB √√2 1±i 26 2 +1=0 A=竹の直 (a²-2aß+8²)+a²=0 ya O 12. B(8) ・1 a-B a A(a) よって B(8) x 00 = (極形式) の形を導く 2.²-2.+1=0 解の公式を利用。 2 ◄B=√2{cos (+4) [類 岡山理科大 ] 基本 31 19 +isin(±4)}a &#193 から,点Bは, 原点を中心 だけ 回転し、原点からの距離を 2倍した点である。 として点 |=1より AB=AO の直角二等辺三 角形 と答えてもよい。 (a-B)²=-a² よって =±i B-α = ±i(純虚数)であるから,16-g|= 0-a BALOA したがって∠A=1の直角二等辺三角形 BA = OA 原点Oとは異なる3点A(α), B(B), C(y) がある。 (1) 類 大分大,(2)類 関西大] 61 1章 4 複素数と図形

26(1)ではθの範囲を設定しているのに対し27(1)では定めていないのはなぜですか？

54 重要 例題26 4 2 点zが原点を中心とする半径rの円上を動き, 点wがw=z+-を満たす。 a² の表す図形 (1) 2 (1) r=2のとき,点wはどのような図形を描くか。 (2) w=x+yi (x, y は実数) とおく。 r =1のとき, 点wが描く図形の式をx、 を用いて表せ。 w=2+- 指針▷ と が同時に出てくる式には, 極形式z=r (cos0+isin() を利用するとよい。 2 1 =1 (coso-isine) により、式が処理しやすくなることがある。 r 去して, x,yの関係式を導く。 それには sin'0+cos20=1 を利用。 ILO 4 |= 2 (2) zを極形式で表すことにより, x,yは0を用いて表されるので, つなぎの文字0を消 JELUTO 解答 z=r(cos0+isine) (x>0,0≦0 <2π) とすると 4 w=zt- [] =r(cos 0+isin0)+(cos 0-isin 0) 円 重要 25 日本基 4 =(x+1) coso+ (r-121) sine (1) r=2のとき.①から w=4cos専平さ 0≦0<2πでは-1≦cos0≦1であるから -4≤w≤4 したがって,点は2点-4, 4を結ぶ線分を描く。 n z=0 1 <= = 2²²1²222² 2 ={cos(-6)+isin(-0)} 虚部がなくなるのでこの とき は実数である。 参考 (2) 点wが描く図形

この式変形はどのようにして変形しているのですか?わかる方教えて下さると嬉しいです💦

次の方程式を満 15 練習 (2) |2-(1+i)|=1 (3) 12-2131a~4il 23 例題 次の方程式を満たす点々全体は, どのような図形か。 2|2|=|z+3| 独中の8A役 15 6 解答 4|2P=|z+3P HA 方程式の両辺を 2乗すると よって 4zz =(z+3)(z+3) 20 4zz = (z+3)(z+3) ス+3=z+3 右辺を展開して整理すると スス-スース=3 20 式を変形すると(z-1)(z-1)=4 すなわち |z-1}=2° e? したがって |z-1|=2 これは,点1を中心とする半径2の円である。 25

(6)で、なぜ解答のような図形になるのか分からなかったので、教えて頂けるとありがたいです🙇‍♀️ 解答をつけておきました

-i - 次の条件をみたすzはどんな図形,範囲にあるか複素平面上に図示せよ. (2) Im(z+i) |2-il ニ (3) 2 ○(4). arg(z + 2i) 3D ス+2i 2-2 ス+i ○(5) 高く arg(z - i)< (?V6) arg 一2

指針の下線の部分が分かりません。 不等式で表されているとなぜ実数となるのでしょうか！

57 重要例題29 不等式を満たす点の存在範囲(3) OOOO0 るを0でない複素数とする。zが不等式2<z+ 在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 16 ハ10を満たすとき, 点zが存 重要5 指針S2Sz+ 16 -SWと不等式で表されているから,z+ 16 は実数である。 そこで,まず が実数→ ●==● を適用して導かれる条件式に注目。 なお,z+ の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。 別解 る 1章 解答 別解 =r(cos0+isin0) (r>0, 0S0<2元) とすると 16 は実数であるから 16 =z+ 16 ス+ る 16 16 16 ス+ よって z+ =z+ る ゆえに ピ+16z=z|z}+16z る 16 Icos 0 r (2ーz)|2パ-16(z-)=0 (2-2)(12パ-16)=0 (2-2) (2|+4) (lz-4)30 または ||=4 [1] 2=z のとき, zは実数である。 よって +-)ine 16 Jsin0 ゆえに よって したがって 16 マ+ る は実数であるから z|>0から, ス=ス |2|=-4は不適。 16 -=0 または sin0=0 アー- r 16 2<z+ すなわち r=4または0=0 または0=π [1] r=4のとき が成り立つための条件は z>0であり, このとき 16 ミー+ =8 る 16 (相加平均)2(相乗平均)により 16 ス+ =8cos0 (等号はz=4のとき成り立つ。) る すなわち,2<z+ 16 は常に成り立つ。 よって,2S8cos 0<10 と -1Scos0<1から ハ cos0S1 16 ス>0のとき, z+ ハ10を解くと, z2+16<10zから [2] 0=0 のとき (z-2)(z-8)<0 |2|=4 のとき,点々は原点を中心とする半径4の円上に したがって 2SzS8 16 =r+ r 16 ス+ ある。2z=4° であるから 16 =ス よって, 2<r+ 16 A10か r 2 4複素数と図形

(1)で、 1行目から2行目にかけての 絶対値の式変形がなぜこのようになるのか よく分からないので 教えてください！

230 次の方程式を満たす点z全体は, どのような図形か。 /(2) |2+8|=3|z| *(3) 2|z-il=|z+2i|

次の方程式を満たす点Z全体は、どのような図形か。 解き方もお願いします☺

37 も |z+1=2|z-2| 2) 3|z

複素数と図形からです。 数3です。 この問題がわからないのですが、誰かわかるひといたらお願いします。 (1)だけで大丈夫です。

数平面上において, z は原京 0 を中心とする半径1 の円周上を動くとする。 そー】 とおくとき 人GE ーーティ *

虚数のiが消える理由が分かりません わかる方教えてください お願いします

6練習19 - みニ1+放 とする。 点々が原点 O を申心とする半径1の円上を動くとき、尽はどのよ うな図形を描くか。 長1 を中心とする半径1 の円 9. のー1す衝から z三