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重要 例題 35 数字の順列 (数の大小関係が条件)
次の条件を満たす整数の組(a1, az, as, d, α5) の個数を求めよ。
(1) 0<a<az<as <a <as <9
xx(2) 0≦a≦a≦asmamas≦3
基本 33 34
(3) ar+az+astastas≦3,a≧0 (i=1,2,3,4,5)
指針
(1)をさいのはすべて異なるから、対応させればよしの8個の数字から異なること
→ 求める個数は組合せ C5 に一致する。.........
(2) (1) とは違って, 条件の式に を含むから, 0, 1, 2,3の4個の数字から重複を許し
て5個を選び, 小さい順に a1,a2, ......, as を対応させればよい。
→ 求める個数は重複組合せ Hs に一致する。
← 等式
(3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a1+a2+as+α+αs)=bとおくと a+az+ax+a+as+b=3
また, a+a2+as+a+as≦3から
b≧0
よって、 基本例題 34 (1) と同様にして求められる。
解答
(1) 1, 2, ………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい
(検討) (2),(3)は次のよ
順に a1,a2,....….., as とすると,条件を満たす組が1つ決まうにして解くこともできる。
(2) [p.348 検討の方法の利
る。
用] bi=a+i(i=1,2,3
よって, 求める組の個数は
C5=gC3=56 (個)
4,5)とすると,条件は
0<bı<b2<b<ba<b<9
(2) 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小
さい順に a1,a2,
決まる。
と同値になる。よって,
******,
as とすると、条件を満たす組が1つ
SI=(1+8)
(1) の結果から 56 個
(3) 3個の○と5個の仕切り
よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=gC5=56(個)
を並べ,例えば,
|〇|〇〇|| の場合は
(3) 3-(a1+a2+a3+ax+as)=6とおくとも
a+a2+ax+a+as+b=3,
(1)
(1,020) を表すと
果の
ai≧0 (i=1,2,3,4,5),b≧0
考える。このとき,
A|B|C|D|E|F
とすると, A, B,C,D,
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の
個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取る重複組
合せの総数に等しく 6H3=6+3-1C3=gC3=56 (個)
別解 a1+a2+ax+a+as=k(k=0,123) を満たす 0 以
上の整数の組(α1, az, a3, 4, as) の数は 5Hk であるから
Eの部分に入る〇の数をそ
れぞれ a1, a2,a3, 4, as
とすれば組が1つ決まるか
ら
8C3=56 (個)
5H0+5H₁+5H₂+5H3=4C0+5C₁+6C2+7C3
=1+5+15+35=56 (個)
練習
5桁の整数 n において,万の位、千の位、百の位、十の位, 一の位の数字をそれぞ
(4)
③ 35 na,b,c,d, e とするとき、次の条件を満たすnは何個あるか。
(1) a>b>c>d>e
(2) a≧b≧c≧d≧e
(3) a+b+c+d+e≤6
00000
まと 場合
●場合の数を
によるのが
●代表的な
·(a+b)(
2700=2
・10人か
10人を
(ア)特
(イ)特
・10人か
・異なる
・10人が
・3本の
・正刀
(イ) 丁
・10人
・10人:
・α3個
・3種類
x+y
(ア)
(イ)
組分け
・15
15
・15
5 15 15 156
・15
・ 15
・15
・6個
組
組
