この問題のここの式変換が分かりません！誰か解説してくださるとありがたいです、よろしくお願いいたします🙇

= 六 - (n-1) ]覚える 覚える!! 3 漸化式と数学的帰納法 (103) B 例題 B1.49 数学的帰納法 (2) 不等式の証明 . **** nが2以上の自然数のとき, 1+ 1 + 22 1 32 1 ++ <2- が成り立 n° n つことを数学的帰納法で証明せよ。 考え方 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい. (I) n=2 のとき, 不等式が成り立つことを示す. (II)=k(k≧2) のとき, 不等式が成り立つと仮定し、これを用いて,n=k+1 のと きも成り立つことを示す. 解答) 1+ 1 1 + + + <2- 22 32 1 1 ..... ① とおく。 n" n (I) n=2 のとき, 1 5 (左辺)=1+- 13 (右辺) =2- 22 4' 22 より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ. (II)n=k(k≧2) のとき, ①が成り立つと仮定すると, んは2以上の自然数 1 1 1+ + 22 32 n=k+1 のとき, 1+2+3 ・十 <2- k² (*) k 1 1 1 1 1 + ・+ <2 何を示すかを明記 k² (k+1)2 k+1. する. が成り立つことを示す. (右辺) (左辺) 1 1 1 =2- 1+ + (右辺) (左辺) > 0 を示せばよい. k+1 22 32 (k+1)2 1 >2- 2- + k+1 k (k+1)2 (*) の仮定を利用す るが,不等号の向き に注意する. 1 0 k(k+1)2- したがって, (右辺) (左辺) > 0 となり, n=k+1 の 書くならば, ->-> ときも①は成り立つ. (I) (II)より,2以上のすべての自然数nについて①は成り は2以上の自然数 だから, k(k+1)"> 1 立つ. よって, k(k+1)'' ocus 数学的帰納法の証明 一 何が仮定で(スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に 注>> 例題 B1.49 や練習 B1.49 のように, n=1 から始まらず, 最初の数が n=2 や n= などとなる場合もある. 聞 (1) h>0 でnが2以上の自然数のとき, (1+h)">1+nh を証明せよ。 (東北学院 4以上の自然粉のとき 2"" を証明せよ。 p. B1-89

この問題の④がn=1の時も成り立つとありますが、どこで成り立っているのかが分かりません！誰か解説してくださるとありがたいです、よろしくお願いいたします🙇

B1-40 (58) 第1章 数 列 Think ○見るたり多度 例題 B1.27 いろいろな数列の和 ( 2 ) Sm=1−22+32-4'++ (−1)" を求めよ. 解答) その和を分けて考える必要がある. nが偶数、つまり=2mmは自然数のとき、 wwwwwww wwwwwwwwwwwwwww Sam=1-2+3-4++ (2m-1)-(2m)2 2m III Colu nが奇数、つまり=2m+1のとき =(12−22)+(32-4°)+…+{(2m-1)-(2m)2} 第 m項 S2m+1=1-2°+32-4°++ (2m-1)-(2m)+(2m+1)2 =(12-2)+(3°-4°)+…+{(2m-1)-(2m)2}+(2m+1)2 nが偶数のとき, n=2mmは自然数) とおくと, wwwwwwwwwwwwwww. Sm=S2m=(12−22)+(3-4)+…+{(2m-1)-(2m)2} ={(k-1)-(2k)}=2(-4k+1) k=1 第 (2m+1)項 いう m 第3項 こ①初う例 n=2,4,6 数列 {(2m-1)^- 初項から第 =-4mm(m+1)+m=-m(2m+1) n=2mより,m=in を①に代入して, == S,=-1/2"(n+1) ② __(n+1) での和と考える 和はnで表す っちの方 ○かりやよい wwwwwwwwwww nが奇数のとき,n=2m+1(mは自然数) とおくと, Sw=Szm+1= (12-2) + (3-4) +...・・・ +{(2m+1)-(2m)2}+(2m+1)^ =Szm+(2m+1)=-m(2m+1)+(2m+1)2 (m+1)(2m+1) (3 n=2m+1より,m= (n-1) を③ に代入して, S.=2+1/2)(n-1+1)=1/2m(n+1)……③ ④は n=1のときも成り立つ. よって,②④より, Focus n=3,5,7, n=1 とすると 1/12=1 Sn=(-1)+12 n(n+1) 場合 この形のままでもよ nが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える S2m+1=S2m+a2m+1 練習 一般項am=(-1)n(n+1) で定められる数列の和 B1.27 S„=a+a2+α+... + α を求めよ. ***

線を引いた部分がなぜこうなるのかわかりません。教えてください。

2つの数列の漸化式 条件α=1,b1=3, an+1=2an+bn, bn+1=an+26によって定めら 数列{am},{bm} の一般項を,それぞれ求めよ。 条件から, an+1+bn+1=3(a+bn), an+1-bn+1=an-bn が成り立つことに着目 する。 I Cams = 20μ+bm ①, bn+1=an+26 ①+② から an+1+bn+1=3(a+b) ② とする。 数列{an+6m}は公比3,初項 α1+b1=4の等比数列であるから ①-②から よって a-b=-2であるから an+bn=4・3n-1 (3) an+1-bn+1=an-bn an-bn-an-1-bn-1 bn-1=.... =a-b1 an-bn=-2 4 ③+④から 2an 4-3-1-25 ③④から an=2.3"-1-1 bn=2.3"-1+1 26=431+2 すなわち 6=2.3" '+1 圏 an=2.3-1-1,b=2.3" '+1 漸化式

この問題なんですが、2枚目の途中で書いたところからつまってしまいます。ここからどのように計算すればいいか解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

-72 (90) 第1章 数 列 Think 例題 B1.42 隣接3項間の漸化式(2) a=1, a2=2, an+2-6an+1+9a=0 ...... ① で定義される数列{a} の一般項 am を求めよ. 考え方 (B) 特性方程式の解が α =βキ0 (重解) となる場合 (p. B1-67) このとき、 ①は,

（２）の問題なんですが、3枚目の自分で解いた解答のやり方が解説にのっていないので、3枚目の私の解答はどこから間違っているか教えてくださるとありがたいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-68 (86) 第1章 数 列 例 B1.41 隣接3項間の漸化式(1) 考え方 次のように定義される数列{an} の一般項 am を求めよ。 (1) a=1, a2=2, an 2-2an+1-150=0 (2) a1=3, a2=5, an+2-30m+1+2a=0 (A) 特性方程式の解α, β が α β となる場合 (p. B1-67) である. (1) An+2-2+1-150=0.･･･ ① が ax +2aaμ+1=βan+1 aan) .....② たとする. ②より, an+2-(a+β)an++αβam= 0 |a=5 [α = -3 これより, α+β=2, aβ=-15 だから, lβ=5 または \B=-3 よって、②より 解答 とも Jax+2+3am+1=5 (an+1+3a) lan+2-5an+1=-3(an+1-5am) これより,一般項 α を求めればよい. (2)(A) aβにおいて,とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, an+2-3a+1+2a=0 は, an+2-An+1=B(An+1-an) となり, 数列{ant-am} は {an} の階差数列である。 mi (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう. ~20x150=0 (1) authen より となる. ......① an+2+3an+1=5 (an+1+3an) lan+2-50+1=-3 (a+1-5a) ②より, 数列 {am+1+3am} は, ③ {a} の階 {anta ① より,-2F wwww (x+3)(x-5)= よって, x=-1 α=-3,β=5 α=5,β=-3 {an+1+3a 初項 a2+3a1=2+3・1=5 公比 5 の等比数列であるから, an+1+3a=5・5"'=5" …④ a2+3a」(n=10) ③より, 数列 {an+1-5am} は, 初項 a2-5a=2-5・1=-3 公比3 の等比数列であるから, a,+1-5a= (-3)(-3)"'=(-3)"...... ⑤ ④ ⑤ より 3a-(-5am)=5"-(-3)" 8a=5"-(-3)" ④ ⑤から 去する. よって、 求める一般項 α は, _5"-(-3)" an= 8

書き込んである①②のことが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-46 (64) 第1章 数 列 例題 B1.29 群数列(1) *** ････となるよ 1から順に奇数を並べて,下のように1個 3個 5個 ...... 2 うに群に分け,順に第1群, 第2群, ･･････とする. 13 5 7 9 11 13 15 17 | 19 (1) 第n群の最初の数と最後の数を求めよ. (2)第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3)207は第何群の何番目の項か. [考え方] 各群にいくつずつ項が入っているか考える. このように、数列をある規則によっていくつかの群に分けているものを,群数列と 群 項数 数列 1 1 1 2 3 3,5,7 3 5 項数の和 1 1+3 1+3+5 n-1 n 9, 11, 13, 15, 17 2(n-1)-1, O-2, O 2n-1 O+2,..... 1+3+5+....+{2(n-1)-1} 1+3+5++{2(n-1)-1}+(2n-1) 初項 1.公差2の等差数列{az},すなわち,a,=2n-1 が群にわけられている。 群数列のポイント (1)第群の1つ前の群(第 (n-1) 群)までに頂数がいくつあるか考える。 (2)第n群だけを1つの数列として考え, 初項, 項数などを求める. (3) まずは 207 が第何群に属するか考える. 解答) (1) 第群には (2k-1) 個の数が入っているので,第1 群から第 (n-1) 群 (n≧2) までに入る数の個数は, ①なぜい群じゃなくて、 n1 なのか ②この+1はどこから きたのか、 1+3+5+....+{2(n-1) -1} =(n-1){1+(2n-3)} =(n-1)^ ...... ① したがって,第n 群の最初の数は, (n-1)+1=n-2n+2 (番目)の数である. 第n群の最初の数は -2n+2 番目の奇数であり, その数は, 2(n-2n+2)-1=2m²-4n+3 これは n=1のときも成り立つ. 次に,第n群の最後の数を考える。 第1群・・・1個 第2群・・・3個 第3群・・・5個 第n群... (2-1 2(n-1)-1=2 より初項1 2-3 項数 - 等差数列の和 もとの数列{2m- の代わりに i maps//WW FC 第1群から第n群までに入る個数を考えて①より, 2番目の奇数であるから,その数は, 2n2-1 よって、第n群の最初の数は2m²-4n+3, 最後の数は22-1 (2)第群は,(1)より 初項2m²-4n+3.末項 2²-1. 項数 2n-1 の等差数列だから,その和は、 wwwwwwwwwwwwwwww 1/12 (2n-1){(2m²-4n+3)+(2n-1)} (2n-1)(4n²-4n+2) =(2n-1)(2n²-2n+1) 22n+2とす ①と同様にして られるが、①の の代わりに とよい 初項 α,末項 nの等差数列の S=(a+

三枚目のシグマの計算が分かりません！あと、この3つの問題全てなんですが、格子点の数を求める際、+1しているのが何故かが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-42 (60) 第1章 数 列 B1.28 格子点の個数 **** 自然とするとき、次の条件を満たす整数の組 (x, y) はいくつあ (1) ps/y/≤2p, ps/x/≤2p か、 (2)x+2y≦2p.y≧0x20 (3) 0≤ y ≤500, 0≤x≤√√ 考え方 座標がすべて整数である点を梢子点という。 (1)(2) 具体的な数を入れて考えてみるとよい。 たとえば、(2)では, 0 (学習院大・改 (2,3) 2 x 34p=1 p=2 p=3 30 2 3 10 x O 4 O 0 となり,p=1のとき, 1+3=4 p=2 のとき, 1+3+5=9 p=3 のとき, 1+3+5+7=16 p=4 のとき, 1+3+5+7+9=25 となっている。 p=4 一般に, 直線 y=k (k=p.p-1, ......, 0) 上には, それぞれ 1, 3, 5, (2p+1) 個の格子点が並んでいる。 (3) 0≤x≤√y. (0≤)x²≤y 0≤y≤500, 0≤x≤ y ≤√500=10/5=22.4 より 右の図のようになる。 y 1500 Jx ここでは,与えられた条件を 変形し x²≤y≤500 0 x=k上にある格子点の個数を考える. (2) y YA 2p p+1 p -2p-p O p: 2px p+1 Fo 解答 (1) 領域は、右の図のように、 1辺の長さの正方形4つ分 である。 x=p上にある格子点の個 数は, y=p,p+1,........ 2p, KAEROP-p-1, -2p の{2p-(p-1)}×2=2(p+1) (個) 同様にして, x=p.......... 2p,p. 上の格子点の個数は,それぞれ, x=p上の格子点の 2(p+1) 一方,xp, -2p -2 練習 2(p+1) 個 線の数は 2 (p+1)* B1.1 **

この問題の解説と解答をお願いします！

2 1=241b 問4 次の1次関数の式を求めなさい。=2a+b1=4mtb-5= (1)x=2のとき,y=1, x=4のとき,y=-5である1次関数 (2) x=-3のとき, y=-9, x=1のとき, y=7である1次関数 12×1-1

次の問題の青線の移り変わりがよく分からないのですがどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

練習 287 = a1 3 [1] An+1 " 2an 4an +1 (n=1,2,3, ・・・) で定められた数列{a} の一般項を求めよ。 an+1 1 すなわち = an+1 2 4an+1 1 2an . 1 an a₁ = 3 1 と漸化式より, すべての”について an≠0 よって, 与えられた漸化式の両辺の逆数をとると 1 「逆数をとる前に α ≠ 0 を確認する。 +2 1 bn = とおくと bn+1 = bn +2 ① an α1 0 より 201 a2 = ≠0 401+1 また, α2 0 より 242 a3 = ≠0 442 +1 これをくり返すと an ≠0 1 ① は, α = α+2 を満たす α = 4 を用いて変形すると ■特性方程式 bn+1-4 = 1/12 (bn-4) 1 1 よって, 数列{b-4}は初項 b1-4= 4=-1,公比 1/2の等比数=bm= より an a1 列であるから bn-4= = (/) n-1 b1 = 1 a1 3 ゆえに したがって an = bn=4- 1 = 4 1 n-1 (2) 1 n-1 = 2n-1 2n+1-1 n-1 1 = =22- 2n-1 2+1-1 2"-1 2

演習9(3)の解説が始まる前の文章に「分母がnの1次式で探せばよい」とありますが、なぜ2次式ではなくて1字式なのでしょうか。

an+1+(n+ よって, an+n+1=2"-1 (a,+1+1)=3.2-1 ∴an=3.2"-1-n-1 (2) an+1=44-2 +1 を 4n+1で割って, an+1 an 4n+1 4" -(/)+1 an bm == b=3, とおくと, b1=441=1,bm+1=0,-(1/2)"となるので,n≧2のとき, n-1 bm n-1 k=1 bn=b₁+ (br+ - br) = 1 − ( )*()* \k+1 =1- 【(2) f( を問目 2 =1/12/11-(1/2)^2}=1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい) よって, an=4b64"{/12+(1/2)"} =2.4"-1+2" = 【別解】 (2) an+1+A・2n+1=4 (an+A・2") を満たす A を求める. an+1=4an+4A2"-A2n+1=4a+A2"+1 と条件式を比べて, A= -1. Qn+1-2n+1=4(an-2")より, {am-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2.4n-1 ..an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) Cn こ 次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ. - (1) a1=2, an+1=3an+2n²-2n-1 (n≥1) - - (2) α=1, an+1-2am=n.2n+1 (n≧1) (岐阜 (日本獣医畜産 + (3) a1= 1, an+1= 1 n-1 zan+n(n+1) (n≧1) ( 岐阜大・教 64 項 (+212)