(3)(4)がわからず、(4)のヒントの意味がわかりません。 -1<sin(60°×n)<1まではわかります！どなたかお願いします！

練習問題6 はさみうちの原理を用いて、 以下の極限を計算せよ lim ※ lim- 0は用いてよい n n× sin(30°×n) lim ※m=0は用いてよい n→0 37 n→0 れ+ sin(60°x×n) lim n→o 2n + sin(30°×n) n lim n→8 1.5n ※| 1,57日(11+ 0.4)1 と考え, im-=0のときと同じ議論を行う

赤線の部分が何を表してるのか分かりません。

0例題7 はさみうちの原理 極限 lim 2" を求めよ。 n! n→0 え方 ある数より大きいnに対して, an S bn S cn が成り立ち b liman limc, = α ならば limbn =α である。 ニ n→0 n→0 n→0 n22 のとき n! = 1·2.3.4. (n-1). n Z1·2·2.2 . . 2.n より 2? 0S n! 2.2.2.2. 2.2 1·2.2.2.…….©2.n 2.2 4 ニ 1·n n 4 lim n→o m =0 であるから,はさみうちの原理により 2" lim n→o n! 0

黄線のとこが何を意味しているかよくわかりません

EX-2 ant=V 3an+ 10, a,>0 のとき lim anを求めよ。 →0 J3d+ 10 a-3d - 10 - 0 (α-5)(α+2) X>0) , 5 30n- 15 | 130m+ 10 | an-51 音1an-51 T an-i-51 ミ 0 であるから はさみうちの原理より 。an = 5 0 | anti- 5| 5| <10ml-anl<1aral ニ J30nt10+5 3 3 をみっける ん 3 0s 1an-5| 。(音)1a--51 。| an-5| - 0 5 ニ

4番、ヒントをどう使えば良いのかわかりません。 2つを1つにする？のでしょうか

練習問題 5 はさみうちの原理を用いて、以下の極限を計算せよ lim n I n lim れ→o(-2) ※ lim-=0 は用いてよい n→0 mxsin(60°xn) lim n→o れ?+1 n+ lim ※ヒント: m n 8tu n+ n+1, nSn+()Sn+1 21 3

赤線の部分の不等式について質問なのですが この不等式はなぜ=を含めるのでしょうか？ tan²ⁿ⁺²x=tan²ⁿxは常には成りたないので、 不等式は=を含まないと思うのですが

関連発展問題 と和の極限、不等式 415 習例題250 定積分の漸化式と極限 国大,(3) 同志社大) 然数 n に対して, を求めよ。 an= tan?" x dx とする。 (2) an+1 をanで表せ。 (3) limanを求めよ。 a →244 【北海道大) > (2) an+1 の積分に an が現れるようにする。 それには, tan'm+2 x%=tan""x tan?x, および 重要 236, 基本 248 ー (2n-1)} (1)同様,相互関係 tan'x= 1 -1に着目。 cos°x 芝浦工大) 求めにくい極限 はさみうちの原理 を利用の方針で。 →245 くいのとき, 0Stanx<1 であるから 0<tan?n+2xStan?ny -., nをとる。 なるようにとる。 7章 の 0を利用して,まず anと an+1 の大小関係を導く。 (2)の結果も利用。 37 めよ。[東京大) 答 →247 1 ー1 tan?xdx= = tan x-x =1-- 4 dx =tanx+C I cos'x tan?n+2 x dx= Jo tan?"x tan?x dx= tan'n An+1 1-50 1 [広島大] →248 tan"x* dx- 2 tan?"x dx COs*x 1 2n+1 4f(■)■の積分。 -tan? 2n+1 x ーan=ーan+ Jo 2n+1 1 --logn> 1 2 |SxS-のとき 0<tanx<1 よって 0Stan?"+2xStan°"x n 東北大] →249 ゆえに tan?n x dx p.406 基本事項22. 0S tan?n+2 xdxs 0 ゆえに,(2)の結果から 1 0SanS よって 0San+1San 1 an+120に(2)の結果を代 →248 -ant NO よって 2n+1 2n+1 入。 はさみうちの原理。 ここで、lim nー 2n+1 =0であるから lim an=0 2→0 自然数nに対して, ム-Sなとする。 自然数nに対して, I,=\x 50) *1 で表す。 1+ ムを求めよ。また, I,+In+1 をnで表せ。 (2) 不等式 AS 1 が成り立つことを示せ。 式を証明。 【類琉球大) n+1 -=log2 が成り立つことを示せ。 k ご理を利用。 lim(-1)-1 1→o k=1 A国限発展問題

途中過程と答えをお願いします。

ケ~0 (9+1)!!

205ははさみうちの原理の問題で　206はsinθ/θ=1を用いて計算する問題なのですが、この２つのどちらかを使う見分け方とかってありますか？

205 次の極限値を求めよ。 p.1 (1)* limx°cos sinx (2) lim cos2x E> (3)* lim 2* X→0 X→0 X→0 206 次の極限値を求めよ。 p.12 sin3x sin6x- sinx (2) lim X→0 x X→0 sin5x 州

丸で囲んであるところの変形が分かりません。

184(2(+みに二類支援 基本 例題106 数列の極限(5) … はさみうちの原理2 O0000 無限 nはn23の整数とする。 1 (1) 不等式 2">-パが成り立つことを,二項定理を用いて示せ。 6 {r" (2) lim n? の値を求めよ。 基本16 指針>(1) 2"=(1+1)"とみて, ニ項定理 を用いる。 (a+b)"=a"+,C,a"-'b+,C2a"6°+……+,Cn-1ab"-1+b" (2) 直接は求めにくいから,前ページの基本例題105同様,はさみうちの原理 太田 る。(1)で示した不等式も利用。 数列。 初項 く数列 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) n23のとき 2"=(1+1)"=1+.Ci+»C2+………+,Cn-1+1 4n=1, 2の場合も不等式 成り立つ。 h 全i+n+(n-1)a(n-1)(n-2) (2"21+,C」+Cz+,C (等号成立はn=3のとき」 +n+1>が よって 2">-カ (2)(1)の結果から 6 く 2" 各辺の逆数をとる。 rキ n3 よって n? 6 0< 2" よ 各辺にn(>0)を掛ける。 n lim=0 であるから 6 lim =0 → 7 はさみうちの原理。 振 →0 検討)はさみうちの原理と二項定理 であ はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として、上の例題のように, 二現定理 用いられることも多い。なお, 二項定理から次の不審式が導かれることを覚えてね した 注意 x20のとき (1+x)"21+nx,(1+x)"z1+nx+-n(n-1)x? (*) く数列( {r}の 練習 nを正の整数とする。 0106 (1) 上の 検討 の不等式(*) を用いて、 右側の (2)(1)で示した不等式を用いて、limnàの値を求めよ。 (1+/2)>nが成り立っことをが (舞京都 S

この下の式のハサミうちの原理使ってる所なんですが、これは別にハサミうちの原理使わなくても、 −1<xn<0と0<−x1<1という情報だけで、 limn→∞ xn−x1/n−1＝0って言えませんか？ ご教示お願いします

が得られる。一1<x,<0, 0< -れ<1より-1<x,ー<1であるから のくーく」 -1しnーx1 1 n-1 n-1 n-1 -1 が成り立ち, l0, ュ n-1 1 -0 (n→8)であるから, はさみうちの原理により, n-1 は XnーX1 -→0 (n→8) である。よって, ③で, n→oのときを考えることにより n-1

下の問題の⑴から⑶の添削をお願いしたいです 字が汚くてすみません 読みづらいところがあったら教えてください なお、⑶の答えはあってました 解説の方は、写真の枚数制限的にきついので、ご回答いただいた方のコメント欄に必要であれば、添付したいとおもいます お願いします

22 aを実数とし,数列 {x.} を次の潮斬化式によって定める。 2019年度 (3] Level C X1=a, Xn+1=X,+x,(n=1, 2, 3, …) (1) a>0のとき, 数列 {x,} が発散することを示せ。 (2) -1<a<0のとき, すべての正の整数nに対して-1<x,<0が成り立つことを示 せ。 (3) < -1<a<0のとき,数列 {x,} の極限を調べよ。 ポイント 与えられた漸化式が解けてしまえば(1)~(3)すべて簡単に答えられるであろう が,この漸化式は解けそうにない。 (1) a>0のとき x,→8 (n-8) となることはすぐにわかる。 このことを示すには, x,>(n の式)かつ(nの式)→ (n→8) となる (nの式) を作り出せばよい。 (2) エ+」=x,+x,"=(x。+-ーが強力なヒントである。 I 2 いての らはポー 2 140>!**x>I-f0>"*>I- としてみて, おーー。 I X3= 3 などと計算してみればx,→0の見当 16 - - (3) X1=a= がつく。はさみうちの原理に持ち込みたいが, そのためには不等式の扱いに技巧が必要 となるであろう。 --2213-Dー" ()