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基本例題 79 三角形の傍
△ABC の ∠B,Cの外角の二等分線の交点をⅠとする。 このとき,次のこと
[類 広島修道大]
を証明せよ。
基本7
(1) Iを中心として, 辺BC および辺AB, AC の延長に接する円が存在する。
(2) ∠Aの二等分線は, 点Iを通る。
(1) 点Pが∠AOB の二等分線上にある
⇔点Pが∠AOB の2辺 OA, OB から等距離にあることを利用する。
指針
Iから､辺BC および辺AB, AC の延長にそれぞれ垂線IP, IQ IR を下ろし、これ
らの線分の長さが等しくなることを示す。
(2) 言い換えると 「∠B, ∠Cの外角の二等分線と ∠Aの二等分線は1点で交わる」
ということである。
よって、点Iが∠QAR の2辺AQ, AR から等距離にあることをいえばよい。
なお, (1) での円を △ABC の 傍接円といい,点Iを頂角A内の傍心という。
Iから、辺BC および辺AB, AC の延長にそれぞれ垂線
解答 IP, IQ IR を下ろす。
(1) IB は ∠PBQ の二等分線であるから
ICは∠PCR の二等分線であるから
よって IP=IQ=IR
また, IP⊥BC, IQ ⊥AB, IRICA であるから, I を中
心として, 辺BC および辺AB, AC の延長に接する円
が存在する。
(2)(1) より, IQ=IR であるから,点Iは∠QAR の2日
AQ, AR から等距離にある。
$:1=HD:00
IP=IQ HA
IP=IR
ゆえに,点Iは∠QAR の二等分線上にある。
したがって,∠Aの二等分線は,点Iを通る。
傍心・傍接円
検討
[定理]三角形の1つの頂点における内角の二等分線と,他の2つ
の頂点における外角の二等分線は1点で交わる。
この点を1つの頂角内の)傍心という。 また, 三角形の傍心を中
心として1辺と他の2辺の延長に接する円が存在する。 この円を,
その三角形の傍接円 という｡
1つの三角形において,傍心と傍接円は3つずつある。
なお,これまでに学習してきた三角形に
心と傍心を合わせて
LIHA
MA
B.
I
*
BU
1
△ABO
3AB2_
指針
解答
7-
検討
