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4例題 51 関数の極限 (3) ... x±∞ の極限2
次の極限値を求めよ。
(1) lim -logs.x +10ga (√3x+1-√3x-1)}
X→∞
解答
/p.82 基本事項 4. 基本料
指針 (1) 対数の性質 klog. M=log. M', log, M+log. N=log. MN を利用して
{}内を logsf(x) の形にまとめる。 そして, f(x) の極限を考える。
(2)∞∞の形 (不定形) で 無理式であるから, まず 有理化を行い、分母・分子を
(1) logs.
xでくくり出す。 このとき, x→−∞であるから, x<0 として変形することに
注意｡
x<0のとき,√x=xではなくて、x =-x である。
なお,別解 のように, x= -t の おき換えで, t→∞ の問題にもち込むのもよい
-log3x+logs(√3x+1-√3x-1)
X→∞
(与式)=limlog3
x →∞0
= lim
X→∞
=log3 √x+log3
: lim
X→∞
=10g3
2
=log3
2√3
(2) lim(√x2+3x+x)
(x2+x)-x2
√x2+3x-x
x →∞0
=limlog3
x18
X-8
2√x
√3x+1+√3x-1
=lim
t→∞o
=lim
t→∞
(3x+1)-(3x-1)
√3x+1+√3x-1
3+
2√√x
√3x+1+√3x-1
2
XC
1
2
lim
X→∞
-x
3x
3
· √ √ x ² (1+²).
別解 x = -t とおくと, x→−∞のとき→∞である
から
lim (√x2+3x+x)=lim(√t2-3t-t)
X→∞
t→∞
(t²-3t)-t²
√t²-3t+t
-3
+
3
1- +1
t
lim(√x2+x+1+x)
であるから
√√3-1
V
x
3x
√x²+3x-x
lim
X→∞
練習次の極限値を求めよ。
②51 (1) lim{log2(8x²+2)-210g(5x+3)}
(2)
=lim
3
(2)
- 3t
→ √t2-3t+t
3
(2)中部,関西
lim ( √x2 +3x+x)
X→∞
3
1+ -1
x
2
11/12log.x=logix
は
= log₁√x
分子の有理化。
基本
√3x+1-√3x-1
と考えて,分母・分子
√3x+1+√3-1 を指
<x<0のとき
√√√x²=-
に注意。
ける。
分母・分子をxで割
(3) lim (3x+1+√9x²+1 )
x→18
次の
=-x
(1)
指針
t→∞であるから,
>0として変形する。
よってf=t
1
[ 近畿大
p.95 EX 34
