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a = ±4のとき
個
a<-4, 4<αのとき
1個 答
1
y=a
4
練習 242
α は定数とする。 方程式 x+3x²-9x-a=0の異なる実数解の
個数を調べよ。
テーマ 111 不等式の証明
x=0のときx+6x2+8≧15x が成り立つことを証明せよ。
応用
考え方 不等式 A≧B の証明・
→差をとって A-B≧0 を示すのが基本。
x≧0のとき,f(x)=(x3+6x2+8)-15xの最小値が0以上であることを
示す。
解答 f(x)=(x3+6x2+8)-15 とすると
x
0
1
f'(x)=3x2+12x-15=3(x2+4x-5)
f'(x)
0
+
=3(x+5)(x-1)
f(x) 8 v 0
x≧0において,f(x) の増減表は右のようになる。
第6章 微分法と積分法
よって, x≧0 において,f(x)はx=1で最小値0 をとる。
したがって, x≧0 のとき, f(x) ≧0であるから ( x3+6x2+8)-15x≧0
すなわち x3+6x2+8≧15x 終
243 (1) f(x) = (x3+x) - 2x2 とすると
f'(x) =3x²-4x+1=(x-1)(3x-1)
f'(x) = 0 とすると
x=/1/31
x≧0において,f(x) の増減表は次のように
なる。
x
0
0
1-3
1
f'(x)
+
0
-
0
+
極大
極小
f(x) 0
1
4
27
0
よって, x≧0において, f(x) は x=0, 1で
wm
最小値0をとる。
したがって, x≧0 のとき, f(x) ≧ 0 であるか
ら
すなわち
(x3+x)-2x2≥0
x3+x≧2x2
(2) f(x) =(x3+7x+1)-3x2 とすると
f'(x) =3x2-6x+7=3(x-1)+4> 0
よって, f(x)は常に増加する。
また,f(0) =1>0であるから,x≧0において
したがって
すなわち
f(x)>0
(x3+7x+1)-3x20
x3+7x +1>3x2
244 (12x2)'=24x
③ (x3)=3x2
② (x)'=4x3
④ (x+3)'=4x3
よって, 4x3 の原始関数であるものは
243
次の不等式を証明せよ。
x≧0 のとき
xxx
(2) x≧0 のとき x+7x+1>3x2
245 Cは積分定数とする。
(1)(与式)=-3fdx=-3
dx=-3x+C
(2)(与式)=7fxdx=7.1/2x++C=1/2x+c
