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重要
1071の乗根の利用
複素数α (α1) を1の5乗根とする。
(1)+α+1+1=0であることを示せ
a
(2)(1) を利用して,t=α+αは1+t-1=0を満たすことを示せ。
2
(3) (2) を利用して、 COS の値を求めよ。
00000
((1)~(3) 金沢大)
(4) a=cos/-/2x+isin 2/2 とするとき, (1-2) (1-4) (1-4) (1-α^)=5であ
ることを示せ。
指針 (1) αは1の5乗根⇔=1⇔ (a-1)(^+α+α+α+1)=0
(2)g=1より|a|=1 すなわち αa=1であるから, かくれた条件α =
●基本105
1
a
を利用。
1/23aisin 2/23 とすると,は1の5乗根の1つ。t=q+αを考え,(2)の
(3) a=cos 5
結果を利用する。
(4)=1 を利用して, (k=1,2,3,4,5)が方程式 28=1の異なる5個の解であ
ることを示す。これが示されるとき,z-1=(z-a)(z-a2)(za)(z-a^)(2-2)
が成り立つことを利用する。 (1-2) (1-2) (1-2) (1-α)に似た形。
ある。
ここで,
次方程
25-1=
N
と因数
両辺に
別解
重要
重要
樹
1の
(1) α = 1 から
(α-1) (α^+α+α2+α+1)=0
a5-1=0
解答
α≠1 であるから
α+α3+α2+a+1=0
一般に
両辺を ^ (0) で割ると2+α+1+1
1
a
+
Q2
= 0
5) とした
(2) α5=1から
|a|5=1
JT
よって
|a|=1
ゆえに|a=1 aiai+
800
a
すなわち aa=1
よって a = 1
S
a
200
2"-1
=(2-1) (2'''+27-2 +... +1 )
[nは自然数] が成り立
つ。この恒等式は,初項
1,公比2,頂数nの等比
数列の和を考えることで
導かれる。
数
2°
a
