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基本例題 242 定積分と微分法
次の等式を満たす関数 f(x) および定数a の値を求めよ。
00000
(1)f(t)dt=x²-3x-4
71(2)
(2)
f(t)dt=x³-3x
p.374 基本事項
d
dx
|指針 a が定数のとき、Sf(t)dt はxの関数である。その導関数について,F(8)=
とするとSoftata[F(t)]-1(F(x)-F(a))=F(x)=f(x)
d
dx
定数 F (a) は xで微分すると0
であるから,off(t)dt=f(x)が成り立つ。
Ja
d
また,等式でx=a とおくと, Sof(t) dt=0 であるから,左辺は0になる。これより
αの方程式が得られる。
(2)まず,与えられた等式を。f(t)dt=-x+3x と変形して,両辺をxで微分。
CHART 定積分の扱い SS を含むならxで微分
(1)S*f(t)dt=x-3x-4……… ① とする。
解答
①の両辺をxで微分すると
cSf(t)dt=2x-3
あ
すなわち f(x)=2x-3
Sof(t)dt=f(x)
また, ① で x=α とおくと, 左辺は0になるから
0=α²-3a-4
Sof(t)dt=0
よって
(a+1)(a-4)=0
a=-1,4
したがって f(x)=2x-3;a=-1, 4th()(
(2) Sef(t) dt=x-3xから
(1)しさん?
X
◄S¢ƒ(t)dt=−S*ƒf(t)dit
Ss(t)dt=-x+3x
②
上端と下端を交換しない
d=jbで
②の両辺をxで微分するとSof(t)dt=3x2+3
すなわち f(x)=-3x2+3
また,②で x=αとおくと, 左辺は0になるから
0=-α+3a
ゆえに a(a²-3)=0 よってa=0, ±√3
したがって f(x)=-3x2+3;a=0, ±√3
dca
dx Saf (t)dt=-f(x)
としてもよい。
