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となるも
日本 14,16
=rを極形
次不定方
理
0
[a+B)
excが
るの
t
重要 例題 19
1+z
x(1) 1-²
(2) 方程式(z+1)+(z-1)'=0 を解け。
解答
1+z
1-²
指針 (1) まず, 与えられた式をzについて解く。 倍角 半角の公式を利用。
(2)
ここで
練習
©19
(4)
ゆえに
=cos Otisino が成り立つとき, z=itan
形できるから、
&T 2=
したがって
=cos Otisino をzについて解くと
(cos 0-1)+isin O
(cos0+1)+isin O
1のn乗根の利用
(1), (2) の問題 (1) は (2) のヒント (z+1)' + (z-1)'=0は(1+2)=1
=1と変
1+z
1-²
は1の7乗根として求められる。 ......... !
(cos0-1)+isin0=-2sine+i・2sin cos-
0 0
201-
F3 x$>020 2 (cos-
(大) (cos0+1)+isin0=2cos²-
0
0
$²2+i-2 sin cos 2
0
$305.3+3 =2cos (cos+isin)
2
2=
AGON
1-²
=2isin
0
2
(2)(z+1)+(z-1)'=0から (1+z)=(1-z) (88-
z=1は解ではないから
(1+2)'=1 実
(k=0, 1,
0
isin-
COS
0
=itan mama
1+z2kπ J. 2kπ
=COS
+isin
7
0
2
kπ
よって,(1) から
7
tan(z-9) = -tan0であるから
7
z=itan- (k=0,1,
6)
と表されることを示せ。
z=0, ±itan7, ±itan 2, ±itan 2 π
3
7,
7
6)
1
0000
1+z
1-z
よって
w≠-1から
0
2
sin².
◄
-=wとおくと
0
COS2 ==
2
P100
基本 15
1+z=w(1-z)
(+1)z=w-1
1+z
1-z
2=
1-cos0
2
0 0
in0=2 sin cos 2
1 = 22 にも注意。
5
1+cos 0
2
w-1
w+1
キー1から
cos Otisin0キ-1
よってキ+2k
ゆえに
+/+kr
2 2
1の7乗根。
8
は整数)
(1) の結果を利用。
7th,
2
7
ルー
6.
=πー
201307" (5)
(C)
(1) を自然数とするとき, (1+z) 27, (1-z) 2" をそれぞれ展開せよ。
(2) nは自然数とする。 f(z)=2nC1z+27C32°++2nCzn-1221
・π,
π
7
39
22-1 とするとき,
1章
3
ド・モアブルの定理
kπ
方程式f(z)=0の解はz=±itan (k=0,1,...... n-1) と表されること
2n
を示せ。
