[三訂版シニアIⅡAB受 ポイントチェック 398]
n は正の整数とする。 n >3のとき, 不等式n! > 2" が成り立つことを数学的帰納法を用
いて示せ。
(解説)
n!>2n
① とする。
[1] n=4 のとき
(左辺)=4!= 24, (右辺)=2^=16
よって, 不等式 ①は成り立つ。
[2] k 4 として,n=kのとき①が成り立つ、すなわちん! > 2k
n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると、②から
(k+1)! -2k+1= (k+1).k!-2k+1>(k+1)-2-2.2k、
=(k-1).2² >0.
すなわち
(k+1)! > 2k+1
よって,n=k+1のときも不等式 ①は成り立つ。
[1], [2] から,n> 3のとき, 不等式 ①は成り立つ。
......
② と仮定する。
