例題
「少なくとも1つ」 の証明
6
1
a+b+c=
a
1
1
1のとき,a, 6, cのうち少なくとも1つは1に等
ニ
6
C
しいことを証明せよ。
考え方
「x, y, zの少なくとも1つは0 →
Xyz = 0」を利用する。
1
1
1より,両辺に abcを掛けると
証明
ニ
a
6
C
bc+ ca+ ab= abc
ここで
(a-1)(b-1)(c-1) = abc-bc-ca-ab+a+b+c-1」
であるから,①とa+b+¢3D1より
(a-1)(b-1)(c-1) = 0
よって,a-1, 6-1, c-1のうち少なくとも1つは0に等しい。
すなわち, a, 6, cのうち少なくとも1つは1に等しい。