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る。
大値を求めよ。
重要 例題 168 図形への応用 (2)
00000
|点Pは円x2+y2=4上の第1象限を動く点であり,点Qは円x2+y2=16上の第
2象限を動く点である。ただし, 原点0に対して,常に ∠POQ=90°であるとす
る。また、点Pからx軸に垂線 PH を下ろし,点 Qからx軸に垂線 QK を下ろ
す。更に ∠POH=0 とする。このとき,△QKH の面積 S は tan0=7[
き最大値
したがって、
できる。
をもつ。まず、こ
をとる。
[類 早稲田大 ]
のと
重要 165
指針 △QKHの面積を求めるには,辺KH,QKの長さがわかればよい。そのためには,点
Pと点 Qの座標を式に表すことがポイント。
半径rの円x2+y2=r2上の点A(x, y) は, x=rcosa, y=rsina (αは動径 OA の
表す角) とおけることと, ∠POQ=90° より, ∠QOH = ∠POH+90°であることに着目。
OP= 2, ∠POH=0であるから,Pの座標は
(2 cos 0, 2 sin 0)
LQOHでとる
0Q=4, ∠QOH=0+90° であるから, Qの座標は
(4cos (0+90℃), 4sin (0+90°))
解答
Cが消去できた
よって、以後は BA
を考えればよい。
すなわち
y
269
4
とっては
4
いけない
(-4sin0 4cos0 )
2
章
ただし 0°<0 <90°
P
K
Ind
O
6H2x
=2(2cos20+4sinOcos0 )
2 三角関数の合成
ゆえに S=1/23KH･QK=1/12 (2coso+4sind) Acos0
=2(1+cos20+2sin20)=2{√5sin(20+α)+1}|三角関数の合成。
三弦定理
sin 角
〒 2x (外接円の半
ただし, αは sinα=
2
COS α =
/5
√5
,
たす角。
0° <α <90° を満αは具体的な角として表
すことはできない。
0° <0 <90°から
→積の公式を脱
B=2のと
(0°<) a<20+α<180°+α (<270°)
よって, Sは20+α=90° のとき最大値12 (√5+1) をとる。
20+α=90° のとき
COS a
tan20=tan(90°-α)=
=2
tan a sina
ゆえに
2 tan
1-tan20
=2
よってtan20+tan0-1=0
1+√5
(A)となる
teが最大とな
Cが正三角形
0° <6 <90° より tan0 0 であるから tan0=
202
|sina= 15. Cos a=1/5
√5
α
√5
tanについての2次方
程式とみて解く。
7. Ln
0°
0/100
の風)
