例題
42
係数が虚数の2次方程式
77
の方程式(1+i)x°+(k+i)x+3+3ki=0 が実数解をもつような実数kの値
を求めよ。ただし,ピ=ー1 とする。
一例題 37
題40
「実数解をもつ」ことから単純に D20 としたら, 完全に間違い。
判別式が使えるのは,"孫数が実数のときに限る。0
21
提
8
実数解をαとすると
iについて整理して
( )内は実数であるから,複素数の相等条件より実部,虚部はそれぞれ =0 となって, a,
kの連立方程式が得られる。これを解く。
さる
答案 与えられた方程式が実数解 αをもつとすると
(1+i)α°+(k+i)α+3+3ki=0
(α+ka+3)+(α+α+3k)i=0 d+ 左 S
地の2
因
(1+i)α°+(k+i)α+3+3ki=0
iについて整理すると
(α2+ka+3)+(α"+α+3k)i=0
A+Bi=0 の形に整理。
a, kは実数であるから, α°+kα+3, α*+α+3k は実数
である。
(3よって
a?+ka+3=0
会の 複素数の相等。
α+α+3k=0
(k-1)α+3(1-k)=0
(k-1)(α-3)=0
k=1 または α=3
[1] k=1 のとき, ①, ② はともに α土α+3=0
この方程式の判別式を Dとすると )
D=1°-4·1-3=-11
2
0-2 から
|°を消去。
ゆえに
よって
ここかSdか手a分o
ら
したがって, D<0 より αは虚数解となるから,条件に
大 適さない。
|2] α=3 のとき, ① に代入して
ゆえに
@に代ン
9r3+3kc0
3ke -12
ks-k
16
X0
pp
9+3k+3=0
|②: 3°+3+3·(-4)=0
k=-4
この値は2も満たす。
以上から,求めるたの値は
k=-4
US 曜 HO月-とまunin
