112 第2章 高次方程式
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例題 54 剰余定理(2)
整式 P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1, x-1 で割ると余りは
11のとき,P(x) を x-1 で割った余りを求めよ.
(東京電機大改)
STOLOM
(1 %) ²0
[考え方 P(x) を2次式x+x+1で割った商をQ(x) とすると、余りはx+1. この商をさら
にx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数αとして, P(x) を考える.
ここで,P(1)=11 となることから,定数aの値を求める.
解答
Focus
P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると,余りは
x+1 より,
P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1
①
さらに,Q(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数
αとすると,
Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ..2
②を①に代入すると,
P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1
=(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1
=(x-1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1
P(x) をx-1で割ると余りは11より, P(1)=11
したがって, ③より,
P(1)=a(12+1+1)+1+1=11
よって, 求める余りは,
a=3
3(x2+x+1)+x+1=3x²+4x+4
P=BQ+R 商のQをさらに割ってみる
***
.....3
R(x)=a(x2+x+1)+x+1
ここで②① に代入してP(x) を考えてもよい.
......
1次式で割ったとき
の余りは定数
注> P(x) を x-1=(x-1)(x2+x+1) で割った商をQ(x), 余りをR(x) (2次以下)とす
ると,
剰余の定理
P(x)=(x-1)(x2+x+1)Q(x)+R(x) ・・・・・①
さらに,R(x) を x2+x+1 で割った商を定数aとすると,余りはx+1 より,
·②
