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6 [2014 東京大] 【35分】
図1に示すように、水平から角度を
なすなめらかな斜面の下端に, ばね定数
んのばねの一端が固定されている。斜面
は点Aで水平面と交わっており, ばねの
他端は自然の長さのとき点Aの位置にあ
るものとする。 図2に示すように,質量
mの小球をばねに押しつけ, 斜面にそっ
て距離xだけばねを縮めてから静かに手
をはなす。 その後の小球の運動について,
次の問いに答えよ。 ただし, 重力加速度
の大きさをgとする。 また, 小球の大き
さとばねの質量は無視してよい。
(1) x=x のとき, 手をはなしても小球
は静止したままであった。 このときの
x を求めよ。
(2) 手をはなしたのち, 小球が斜面から
飛び出し水平面に投げ出されるための
の条件を, k, m, g, 0 を用いて表せ。 「ひゃん。
(3) x=3x) のとき, 小球が動きだしてから点Aに達するまでの時間を求めよ。
次に,(2) の条件が成立し小球が投げ出された後の運動を考える。 小球は点Aから速さ
で投げ出されたのち, 水平距離s だけ離れたところに落下する。 点Aでの速さが一定
の場合は,0=45°のとき落下までの水平距離が最大になることが知られているが,今回
の場合は,0によって”が変わるため, s が最大となる条件は異なる可能性がある。 次の
問いに答えよ。 なお,必要であれば、表1の三角関数表を計算に利用してよい。
S
表 1
(4) vをx,k, m, g, 0
を用いて表し、 xが一定
のとき, sが最大となる
0は45°より大きいか小
さいか答えよ。
(5) s をx,k, m, g, 0
を用いて表せ。
0
sin 0
cos o
0
sin 0
cos o
x
m
A
図1
A
図2
35°
10° 15° 20° 25° 30°
40°
0.17 0.26 0.34 0.42 0.50 0.57 0.64 0.71
0.98 0.97
0.94 0.91 0.87 0.82 0.77 0.71
45°
50°
0.77
0.64 20.57 20.50 0.42 0.34
55° 60° 65° 70° 75° 80°
0.82 20.87 0.91 20.94 20.97
0.98
0.26 0.17
2mg のとき,表
(6) x=- k
に示した角度の中から, sが最も大きくなる 0 を選んで答えよ。
(7) x を大きくしていくと, s が最大となる 0 は何度に近づくか。 表に示した角度の中
から選んで答えよ。
