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解答編
-207
-46 に代入して
+4 (0+1-20)
5a=0
anti-an)
Say=a+b1=8
kのとき①が成り立つ, すなわち
1.3+2・5+3・7++2k+1)
+kk+1X4k+5)
[2] n=kのとき ①が成り立つ。 すなわち
1+2.1/23+
+... +
=2k-
+4
数学的帰納法
初項 8. 公比5の等
.5"-1
項が 8.5"-1 であるか
(5-1-1)
40
5-1
=(k+14k²+
k+1)(4k2 +17k+18)
③
暮られるから
考えると、②から
1・3+2.5 +3.7 ++k2k+1)
+(k+1){2(k+1)+1)
kk+1X4k+5)+(k+1X2(k+1)+1)
=/(k+1)(4k+5)+6(2
定する。 n=k+1 のとき, ① の左辺につ
...... 2
数学的帰納法
第2節 数学的帰納法
139
と仮定する。 "=k+1のとき. ①の左辺につ
いて考えると, ②から
明するには、次の2つのことを示す。
14-1
1+2+ ・+・・・+人
+(k+1)
=2(k-2
3\4
+4+ (k+1/
7314
= (3k-3)
73
+4=2(k-1)
+4
=(k+1xk+2X4k+9)
(k+1)((k+1)+1}{4(k+1)+5}
=(k+1)((k+1)
よって、n= k + 1 のときにも①は成り立つ。
[1] [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。
(2) (n+1Xn+2Xn+3)
(2n)
6.5"-1
-1)
(10"-1)
■につ
...... D
4
=2"-1-3-5(2n-1)
...... D
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
とする。
[1] n=1のとき
左辺 =1+1=2,
右辺 =21.1=2
1 [2]から すべての自然数nについて①は
成り立つ。
「5は3の倍数である」 を (A)とする。
n3+5n=13+5・1=6
[1] n=1のとき
よって, n=1のとき, (A) は成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
+5kは3の倍数であると仮定すると, ある
整数を用いて次のように表される。
+k³+5k=3m
n=k+1のときを考えると
(k+1)+5(k+1)
+12=
=(k+5k)+3(k+k+2)
=3m+30k2+k+2)
=3(m+k2+k+2)
m+k+k+2は整数であるから,
(k+1)+5(k+1) は3の倍数である。
よって, n=1のとき、 ① は成り立つ。
[S]
[2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
(k+1)k+2xk+3)........(2k)
=2.1.3.5 (2k-1) ... 2
と仮定する。
n=k+1のとき, ① の左辺について考えると,
②から 2-2-1+(1+-+
(k+2)(k+3)·······(2k) (2k+1)(2k+2)
=(k+2)k+3)••••••••
(2k)
(2k+1) ・2(k+1)
=2(k+1)(k+2)(k+3)........ (2k2k+1)
=2+1.1.3.5 (2k-1)2k+1)
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は
成り立つ。
数学B STEP A・B、発展問題
(8)
1
よって, n=k+1のときにも(A) は成り立つ。
(n+1)3
93 (1) 12+2+32++n2<
3
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) は
成り立つ。
とする。
[1] n=1のとき
+3・
92 (1) 1+2+3()++(2)
238
左辺 = 1,
2/
右辺 =3=3
[S]
とする。
=2(-2) +4 ...... ①
[1] "=1のとき
左辺1,右辺=2・(-1)・12/3+4=1
よって、n=1のとき、 ①は成り立つ。
よって, n=1のとき, ①は成り立つ。
12 + 2° +32 + ......
+k <-
[2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち
(k+1)³
ある
3
..... ②
と仮定する。
[1] n=1のときPが成り立つ。
ある特定の自然数以上のすべての自然数nについて、Pが成り立つことを証明す
[2] n=kのときPが成り立つと仮定すると, n=k+1のときにもPが成り立つ。
るには, [1]でn=m, [2]でとする。
STEPA
□ 90 は自然数とする。 数学的帰納法によって、 次の等式を証明せよ。
=1/12 (10)
*(1) 1+10+ 10+······ +10^-'=(10^-1)-
9
(2)1+2+37+…+n(n+1)=1/gn(n+1)(4n+5)
数
列
*91 n は自然数とする。 +5 は3の倍数であることを、 数学的帰納法によって
証明せよ。
A
STEPB
92 n は自然数とする。 数学的帰納法によって、 次の等式を証明せよ。
1+2+3(2)²-
++n
3
=2(n-2
+4 -
(2)(n+1)(n+2)(n+3)･･････(2z)=2"-1・3・5(2n-)
2:4-6
93 数学的帰納法によって,次の不等式を証明せよ。
*(1) nが自然数のとき
12+22+3²++n² <=
(n+1)3
3
*(2)
が4以上の自然数のとき
2">3n+1
(3)
h>0のとき
が3以上の自然数,
(1+h)">l+nh
自然数nに関する事柄Pが,すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証
94(1) は自然数とする。 562-1は31で割り切れることを,数学的
法によって証明せよ。
(2)は2以上の自然数とする。 2"-7n-1 は49で割り切れること
学的帰納法によって証明せよ。
k+1XT/
ktlのときにも成り立つ。
