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第1章
い
J
10
第1章 式と証明
基礎問
是
•
42項定理 多項定理
(1)次の式の展開式における[]内の項の係数を求めよ.
(ii) (2x+3y) (x³y²]
(i) (x-2) (x³)
(2) 等式 nCo+mCi+nCz+..+nCn=2" を証明せよ。
(3)(x+y+2z)を展開したときのry'zの係数を求めよ。
精講
2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは
I.2項定理の使い方の代表例である係数決定
Ⅱ.2項定理から導かれる重要な関係式
以上2つについて学びます。
2項定理とは, 等式
(a+b)=n Coa"+na" 16+... +nCkan-kbk+... +nCnbn
のことで,
Cha"-kb (k=0, 1, , n).
を (a+b)” を展開したときの一般項といいます。
参考
次に (x+y) を展開したときの一般項は Cirkyk-i
したがって(x+y+2z) を展開したときの一般項は
6Ck kCixiy-(22)6-k
=26-• Ch* Ci x¹y-iz-k
よって, ray'zの係数は k=5, i=3 のときで
216C55C3=26C1・5C2
ポイント
=2・6・10=120
11
定数の部分と文字式
の部分に分ける
(a+b)"
=nCoa+nCian1+..+nCkan-kbk+…+nCnbn
20%
(3)は次の定理を使ってもできます.
多項定理
(a+b+c)” を展開したときの abc" の係数は
>>n!
(x) p!q!r!
(p,g,rは0以上の整数で, p+g+r=n)
(x+y+2z) を展開したときの一般項は
6!
p!q!r!xy(22)=-
276!
p!q!r! xyz"
p=3, g=2,r=1のときだから求める係数は
(p+g+r=6)
答
(別解)
(1)(i)(x-2)を展開したときの一般項は
Cr(x)^(-2)=Cr(-2)7-'.'
r=3のときが求める係数だから
< Crx7" (-2)" でも
その数 文字
7X6X5
7C3(-2)=-
.24=560
3×2
よい
2･6!
-=120
3!2!1!
(i) (2+3y) を展開したときの一般項は
5C(2.x)(3y)=5Cr・2'35-xTy5-r
r=3のときが求める係数だから
5×4×3
5C3・23・32=
・・2・32=720
3×2
sCr(2x)-(3y)" T
文字
もよい
(2)(a+b)"=Coa+nCia-16++nCn-ab-1„ C„b" の両辺に
a=b=1 を代入すると
(1+1)=„Co+„C+..+nCn
..nCo+nC+..+nCn=2"
(3)(x+y+2z)を展開したときの一般項は。Ch(x+y)^(2z)6-k
注 1. 多項定理を使うと, 問題によっては,不定方程式 p+q+r=n を解く
技術が必要になります.
注2. (1)(ii)のようにx,yに係数がついていると, パスカルの三角形は使いに
くくなります。
演習問題 4
(1) (32y) における ry の係数を求めよ.
(2)
Co-C1+C2-nCs+..+(-1)"C=0
を証明せよ -
