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基本
例題
35 an+1= pan+(nの1次式) 型の漸化式
a=1, an41=3an+4n によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
・基本 34
p.464 基本例題 34の漸化式an+1=pan+g で, gが定数ではなく、nの1次式となっ
ている。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
→
漸化式のnをn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-an}についての漸化式を処理する。
また、検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式 α+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
とすると
an+2=3an+1+4(n+1) (2)
②①から
an+2-an+1=3(an+1-an)+4
bn+1=36+4
an+1-an=bn とおくと
これを変形すると bn+1+2=3(6+2) ○
また
b1+2=az-a1+2=7-1+2=8
よって、数列{bn+2} は初項 8,公比3の等比数列で
b+2=83-1 すなわち 6m=8312
(*)」
n≧2のとき
n-1
an=a1+(8.3k-1-2)=1+
k=1
8(3-1-1)
3-1
-2(n-1)
=4.3"-1-2n-1
③
468
①のn に n+1 を代入す
ると②になる。
差を作り, n を消去する。
<{bn}は{an}の階差数列。
<a=3a+4から α=-2
a2=3a1+4・1=7
469
<n≧2のとき
で
n-1
an=a1+2bk
k=1
階
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
a=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.3-1-2n-1
①初項は特別扱い
(*)を導いた後, an+1-an=8•3-1-2に①を代入して am を求めてもよい。
DANNIRomic
1
章
漸化式数列
き
す
本
{(n+β)} を等比数列とする解法
例題はan+1=pan+(nの1次式)の形をしている。 そこで,f(n)=an+βとして,
・・A の形に変形できるようにα, β
+1=3a+4nが, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
の値を定める。
⑩から
ゆえに
an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
an+1=3an-2an+α-2β
これとan+1=3an+4n の右辺の係数を比較して
α=-2, β=-1
-2a=4, a-2ẞ=0
ゆえに f(n)=-2n-1
したがって an=4.3" -2n-1
⑩より、数列{an- (−2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4・3"-1
