12 で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。
基本例題123 1次不定方程式の整数解の利用
OOOO0
基本122
CHART
SOLUTION
1次不定方程式の整数解の利用
条件から ax+6y=c の形に変形
条件を満たす自然数は, 整数x, yを用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される
そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め, それから題意の自然数を
求める。
解答
求める自然数をnとすると, nはx, yを整数として, 次のよう
に表される。
aをもで割った商をg.
| 余りをrとすると
a=bq+r
n=12x+1,
n=7y+4
よって
12x+1=7y+4
『すなわち
12x-7y=3
の
x=3, y=5 は,12.x-7y=1 の整数解の1つであるから まず, ① の右辺を1とし
た方程式 12x-7y=1
12-3-7-5=1
の整数解を求める。
両辺に3を掛けると
の
12.9-7·15=3
12(x-9)-7(y-15)=0
12(x-9)=7(y-15)
の-2から
すなわち
12 と7は互いに素であるから,3を満たす整数xは
x-9=7k すなわち x=7k+9 (kは整数)
*nを求めるためには、
x, yの一方が求まれば
よい。
と表される。
したがって
n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109
84k+109 が3桁で最大となるのは, 84k+109<999 を満たす
kが最大のときであり, その値は
このとき
参考 解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め,それか
ら3を導いて解いた。
しかし,例えばx=2, y=3 がOの整数解の1つであ
ることに気がつけば, これを用いて解いてもよい。
本間のように,x, yの係数が比較的小さいときは, 整数
解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場合も
全84k+109 999 から
999-109
k=10
kS
84
n=84·10+109=949
=10.5………
* 12-2-7-3=3 と①から
12(x-2)-7(y-3)=0
ある。