例題 63
(2) |a°++c°=a+b+c=3 のとき, a, b, c はすべて1に等しいこ
「少なくとも1つはk」,「すべて k」 の証明
(1) abc
: 1, a+b+c= ab+bc+ca が成り立つとき, a, b, cのうち
とを証明せよ。
11
5
目標の言い換え
結論
を式で表す。
a=1 または b=1
→a-1=0またはb-1=0 またはc-1=0
または c=1
(a-1)(6-1)(cl1)=0
(積)= 0
Action》「a, b, cの少なくとも1つは k」は, (a-k)(b-k)(c-k) 30 を示せ
a=1
かつ
b=1 かつ
C=1
→a-1=0 かつ b-1=0 かつ c-1=0
(a-1)?+(6-1)+ (c-1)? = 0
2乗の和)= 0
Action》「a, b, cがすべてk」は, (α-k)+(6-k +(c-k}=0 を示せ
(1) a, b, cのうち少なくとも1つは1に等しいというこ
とは,(a-1)(b-1)(c-1) = 0 -…① であるから, この
(別解)
a+b+c=t とおくと
ab+ bc+ca=t
このとき,a, b, cは
3次方程式
*ー+tx-1=0 …0
の解である。
のはx=1のとき成り
立つから,x=1は1
の解である。
よって, a, b, cのう
少なくとも1つは1で
等式が成り立つことを証明する。
(Dの左辺)= (a-1)(b-1)(c-1)
= (ab-a-b+1)(c-1)
= abc-(ab+bc+ca)+ (a+b+c)-1
三
ここで,条件より abc=1, a+b+c=ab+bc+ca で
あるから
したがって, a, 6, cのうち少なくとも1つは1に等し
(0の左辺)= 0
る。
(p.91 Go Ahead 4参
2) 4, 6, cのすべてが1に等しいということは,
(a-1)°+(6-1)°+ (c-1)? =0 …② であるから, この
等式が成り立つことを証明する。
(2の左辺)=D (a-1)?+(b-1)?+(c-1)"
い。
r=3 であ
思考のプロセス|
