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529
例題
基本例
(1) n
((2)
120 互いに素に関する証明問題(1)
00000
は自然数とする。 n +3は6の倍数であり, n+1は8の倍数であるとき,
+9は24の倍数であることを証明せよ。
任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素で
あることを証明せよ。
指針
P.525 基本事項 重要 122
(1) n を用いて証明しようとしても見通しが立たない。 例題110のように,n+1,
n+9がそれぞれ8, 24の倍数であることを, 別々の文字を用いて表し, nを消去す
る。そして,nの代わりに用いた文字に関する条件を考える。 次のことを利用。
a,bは互いに素で, akbの倍数であるならば、
はの倍数である。
(a, b, k は整数)
+1は互いに素⇔nn+1の最大公約数は
nとn+1の最大公約数をg とすると n=ga, n+1=gb (a, bは互いに素)
この2つの式からnを消去してg=1を導き出す。ポイントは
A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1
ak=blならばんは の倍数はαの倍数
a,bは
1
CHART)
互いに素
②
aとbの最大公約数は1
よ。ただし
付する。
とすると
素である。
JAを果た
4
4章
⑩約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
(1) n+3=6k,n+1=8l(k, lは自然数) と表される。
参考 (1) +9 は, 6 の倍
数かつ8の倍数であるか
6と8の最小公倍数
である24の倍数, とし
て示してもよい。
解答
n+9=(n+3)+6=6k+6=6(+1)
n+9=(n+1)+8=8l+8=8(+1)
よって
6(k+1)=8(+1)
すなわち 3 (k+1)=4(+1)
3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。
したがって, k +1=4m (mは自然数) と表される。
<指針_
ゆえに
n+9=6(k+1)=6.4m=24m
したがって, n+9は24の倍数である。
(2)nn+1の最大公約数をgとすると
n=ga, n+1=gb
(a, b は互いに素である自然数)
と表される。 n=ga をn+1=g6に代入すると
ga+1=gb すなわち g (b-α)=1
の方針。
なお,3と4は互いに
素」 は重要で,この条件
がないと使えない。 答案
では必ず書くようにする。
また、このとき, 1+1は
3の倍数である。
したがって, l+1=3m
と表されるから、
n+9=8・3m=24m
としてもよい。
PAC
注意
練
E
② 120
g は自然数, b-α は整数であるから
g=1
したがって, nとn+1の最大公約数は1であるから,
nn+1は互いに素である。
(2) の内容に関連した内容を、次ページの参考で扱っている。
積が1となる自然数は1
だけである。
(1)は自然数とする。 n+5は7の倍数であり,n+7は5の倍数であるとき,
(2)
n+12を35で割った余りを求めよ。
nを自然数とするとき、2-1と2+1は互いに素であることを示せ
(1) 中央大 (2) 広島修道大] p.535 EX83、
