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368 第6章 微
Think
例題 198 実数解の個数(2)
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3次方程式-3a'x +40=0が異なる3つの実数解をもつとする。栄
数αの値の範囲を求めよ.
114
考え方 例題 197 (p.367) のように定数を分離しにくい。 このような場合は,次のように3次
数のグラフとx軸の位置関係を考える。
3次方程式 f(x)=0が異なる3つの実数解をもつ
3次関数においては、
y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる
(極大値)>0 かつ (極小値)<0
(極大値)×(極小値) < 0
(極大値)> (極小値 )
解答)
f(x)=x-3ax+4a とおくと
f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)...... ①
方程式 f(x) =0 が異なる3つの実数解をもつ条件は、
y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わること
つまり、(極大値)×(極小値) <0
となることである.
(i) ①より、f'(x)=0 のとき,
a>0のとき、
y=f(x)
A
f(a)f(B)
f(x)が極値をもっ
f(x)=0が異なる?
つの実数解をもっ
f'(x)=0の
判別式) > 0
x=-a,a
x
-a
増減表は右のよう
f'(x) +
0-
20
a
(p.353 参照)
+
直接, 増減表を書いて
になる.
f(x)
極大
極小
極値を調べたが、
a0 のとき,
X
a
-a
増減表は右のよう
になる。
f'(x) +
f(x)
0
20 (+)
極大
極小
a=0 のとき,f(x)=xより,f(x)=0 の解は
x=0 (3重解)となり不適
(ii) f(-a)xf(a)=(2a3+4a)(-2a3+4a)
=-4a² (a²+2)(a2-2)<0
(i)より, a=0 であるから,a>0,d²+2>0より,
a²-2>0
これより、
(a+√2) (a_√2)>0
a<-√2√2<a
よって、求める αの値の範囲は,
a<-√2√2<a
3次方程式(x)=0が異なる3つの実数解をもつ
y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わる
(極大値)>0かつ (極小値) <0
(極大値) X (極小値) < 0
f'(x) =0 の判別式を
使ってもよい。
判別式をDとすると
D=-4-3(-3a²)
=36a2>0
より
a<0, 0<a
(a=0)
となる.
Focus
注> 例題198 で (1) f(x) が極値をもつ
(Ⅱ) (極大値)×(極小値) <0
満たさないと
(極値
