=k のとき成り立つと仮定す
数学B
mを用いて
*される。
ここで,a1,ba+t, Gn, baは整数で、
3 は無理数であるから
a+1= 2a,+ 3b,bae1= an+26。
(2)(2-(3)" = an-baV3
とする。
2+/3 = a,+b3 で, a, b, は整数。
3 は無理数であるから
1+
*2
と自
い
1
a= 2, b」 = 1
(1) n=1のとき
左辺 = (2-3)-2-J3
右辺 = a-b3=2-/3
よって,Dは成り立つ。
(2 0がn=kのとき成り立つ, すな
Lつ。
ての自然数nについて)
1で割り切れ
わち
(2-3)= a-ba/3
と仮定する。
…2
n=k+1 のとき, ① の左辺を② を用
いて変形すると
立つ。
*定す
= (a,-b/3)(2-/3)
= (2a,+ 36。)- (ar+2b) 3
1° P(x)
(1)の結果より
-1)"P(x) + kx° _ kx+1 …2)
2a,+36。 = ak+1, Qk+2bw= ba+1
4=k+1 のとき, ② を用いると
であるから
(2-(3)* = ak+1 -bゅ+i\/3
となり,① はn=k+1 のときにも成
= x{(x-1)?P(x) + kx° - kx+1}
り立つ。
= x(x-1)°P(x) +k(x°-2x+x)
+(ーx+2x-1)
(1), (2より,すべての自然数 nについて
のが成り立つ。
= x(x-1)°P(x) + kx(x-1)?- (x-1}
= (x-1)°{xP(x) + kx-1}
xP(x) + kx-1はxの整式であるから,
のはn=k+1 のときにも成り立つ。
1), 2より, すべての自然数nについて①
が成り立つ。
1
11
(2
3
『n
とする。
0 n=1のとき
O左辺= 1, 右辺=D 2,1I =2
左辺く右辺
ゆえに
92 (1) an+1 + bm+1/3
よって,①は n=1 のとき成り立つ。
(2 0がn=kのとき成り立つ, すな
ガ+1
わち
= (an+ bn3)(2+/3)
Aner t
bnr Js
(24月)*)
(24月))(2月)
G1a )
