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基本例 3 多項展開式とその係数(1)
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00000
次の式の展開式における、[ ]内に指定された項の係数を求めよ。
(1)(x+2y+3z) [xyz]
武蔵大) (2) (1+x+x) [x]
[愛知学院大 ]
p.16基
指針
二項定理を2回用いる方針でも求められるが、 多項定理を利用して求めてみよう。
(a+b+c)” の展開式の一般項は
n!
a'b'c', p+q+r=n
plgirl
解答
(2)上の一般項において, a= 1, b=x, c=x" とおく。 このとき、指数法則により
1.x°(x2)=x9+2 である。 g+2r=4となる0以上の整数 (p, g, r) を求める。
(1)(x+2y+z)” の展開式の一般項は
4!
plg!r!
x^(2x)(32)=(か!2".3)xyz"
ただしp+g+r=4, p≧0, g≧0, r≧0
xyz の項は,p=2, g=1,r=1のときであるから
4!
(a+b+c)* の一般項は
4!
pig!r!
a²bc"
(p+gtr=4, p≧0.
q≥0, r≥0)
・・2・3=72
2!1!1!
別解 {(x+2y)+3z}* の展開式において, z を含む項は
4Ci(x+2y) •3z=12(x+2y)'z
また, (x+2y) の展開式において, x2y を含む項は
3Cix2.2y=6x2y
よって, xyz の項の係数は
12×6=72
(2) (1+x+x2) の展開式の一般項は
8!
二項定理を2回用いる方
針。 まず (+3z) の展
開式に着目する。
Þ!q!r! *1*•xª•(x²)*=
8!
*x9+2r
p!q!r!
ただしp+g+r=8
......
①, p≧0g≧0, r≧0
x4 の項は, g+2r=4 すなわち g=4-2r ...... ②
のときであり,①② から p=r+4 ..... ③
ここで,②g≧0から
rは0以上の整数であるから
②③から r=0のとき
r=1のときp=5,g=2
よって, 求める係数は
4-2r≧0
r = 0, 1, 2
p=4, g=4
r=2のとき p=6,g=0
(am)=amn
<p,q, rは負でない整数。
②①に代入すると
p+4-2r+r=8
<4-2r≧0から2
8!
8!
8!
+
+
4!4!0! 5!2!1! 610!2!
=70+168+28=266
<0!=1
別解 (1+x+x2)={(1+x)+x2}"
=(1+x)+C」(1+x)'x'+C2(1+x)(x2)+......
この展開式の中で, x を含む項は C4x4, C197 Caxdxd, C21x4
よって, 求める係数は 8C4+BC17C2+8C2=70+8・21+28=266
******
部分
の次数は
6以上。
3 (1) (1+2a-36) [263]
習 次の展開式における, [ ]内に指定された項の係数を求めよ。
(2)(x2-3x+1)10 [x]
p.23 EX 1
