Question

依桜

組み合わせの問題です。アからウまでは解けたのですが、エが分からないので解説お願いします。

1円に内接するn角形F (n>4) の対角線の総数は
3つからできる三角形の総数は
1本である。 また,Fの頂点
Fの頂点4つからできる四角形の総数は
個,
□個である。 更に, 対角線のうちのどの3本をとってもFの頂点以外の同一点
で交わらないとすると, Fの対角線の交点のうち, F の内部で交わるものの総数は
個である。
p.389 EX 21、

女子A
練習 円に内接するn角形F (n4)の対角線の総数は 本である。また,Fの頂点3つからで
Fの頂点4つからできる四角形の総数は個である。更に,
個,
③ 24 きる三角形の総数は
対角線のうちのどの3本をとってもFの頂点以外の同一点で交わらないとすると, Fの対角線
の交点のうち, Fの内部で交わるものの総数は 個である。
(ア)Fのn個の頂点から選んだ2点を結んで得られる線分から
[検討 n角形Fが円に
n 本の辺を除いたものが対角線であるから
n(n-1)
nC2-n=
n(n-1)-2n
-n=
=
-n(n-3) (本)
内接 するとは,Fのす
べての頂点が1つの円周
上にあること。
2
2
別解 n角形において、1つの頂点A」 を通る対角線は
←A」 と両隣の頂点以外
(n-3) 本あり,頂点 A2,......., An についても同様であるが,の頂点に対角線が1本ず
1本の対角線を2回ずつ重複して数えているから
1n(n-3) 本
(イ)n個の頂点から3個を選んで結ぶと三角形が1個できる。
よって,三角形の総数は
nCa=1/3n(n-1)(n-2) (個)
(ウ) n個の頂点から4個を選んで結ぶと四角形が1個できる。
よって、四角形の総数は
"Ci=2/14n(n-1)(n-2)(n-3) (個)
(ｴ)Fの内部で交わる2本の対角線の1組を定めると,これらを
対角線にもつ四角形が1つ定まるから, 求める交点の総数は,
1
(ウ) と同じで nC4= in(n-1)(n-2) (-3) (個)
24
つ対応する。
(エ)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

模範解答の通りで、
n角形の頂点4個を結んで四角形1個をつくると、
その四角形の対角線の交点1個が必ずでき、
これは必ずn角形の対角線の交点でもあります
逆も成り立ちます

つまり、
n角形の頂点4個を結んでできる四角形1個と、
n角形の対角線の交点1個とが対応しているので、
エの答えはウと一致します

依桜

解説ありがとうございます