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消去
の利用
例題 72
2変数関数の最大・最小 宝
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3章 72次関数の最大・最小
思考プロセス
x,y が実数の値をとりながら変化するとき,P=x-2xy+3y²-2x+10y+1
の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。
例題71との違い
見方を変える
「xとyの関係式がないので, 1文字消去できない。
lxとyがそれぞれ自由に動くので考えにくい。
① yをいったん定数とみる xの2次関数 P=x+x+□ の最小値を
の式で表す。
②
(y を固定する)
y を変数に戻す
( v を動かす )
=(yの式)の最小値を求める。
Action》 2変数関数の最大・最小は, 1変数のみに注目して考えよ
解 与式を x について整理すると
P = x²-2xy+3y2 - 2x + 10y + 1
= x2-2(y+1)x + 3y2 + 10y + 1
にして
と変形して
xyは1
となった
wwww
xについての2次式とみ
て,平方完成する。 yは
定数とみて考える。
を定数とみたときの最
小値はm=2v2+8y
この最小値を考えるため、
さらに平方完成する
(実数 2 ≧0
■Pの2つの()内が
¥2変数の開
yの
の範囲
になおす
120TH
②より
「すなわち
のときである。
したがって
これと、
x = -1, y=-2
最
x,yは実数であるから [2種)≧0]
(x-y-12≧0,かつ2(y+2%≧0
970
等号が成り立つのは x-y-1 = 0 かつ y + 2 = 0
すなわち
={{x-(y+1)}-(y+1)+3y+10y +1
=
=(x-y-1)2+2y2 +8y
=(x-y-1)+2(y+2)2-8
である。
x=-1, y=-2 のとき 最小値-8
Point 式の見方を変える
をαに置き換えて例題72を書きなおすと、次のような問題になる。
xの2次関数 y=x-2(a+1)x + 34² + 10a + 1 について
(1) 最小値をαの式で表せ。
(2)αの値が変化するとき (1) で求めた最小値の最小値を求めよ。
<解〉 (1) y = {x-(a+1)}2 +2a2+8a より
そのグラフは、頂点 (a+1, 2a2+8a), 下に凸の放物線であるから
最小値=2a2+80mの効きをしりた
(2)m=2a2+8a=2(a+2)2-8 より
mはa=2のとき,最小値-8をとる。
B
KMENN
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