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基本 例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式)
(1) すべての実数xについて、不等式 x2+ax+a+3>0 が成り立つように、
定数αの値の範囲を定めよ。
(2) すべての実数x に対して、不等式 kx2+(k+1)x+k≧0 が成り立つよ
うな定数kの値の範囲を求めよ。
p.135 基本事項
CHART SOLUTION
定符号の2次式
ax²+bx+c>0< a>0, D<0
常に ax²+bx+c≦0⇔a<0, D≦0
(1) x2の係数は10→D<0であるαの条件を求める。
(2)単に「不等式」 とあるから h=0 の場合 (2次不等式でない場合) も考える
ことに注意｡ k≠0 の場合, k<0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。
解答
(1) x²+ax+a+3=0 の判別式をDとする。
2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は
D<0
ここで
D<0 から 求めるαの値の範囲は
(2) kx²+(k+1)x+k≦0
[1] k=0 のとき, ① は x≤0
これはすべての実数x に対しては成り立たない。
[2] k0 のとき, 2次方程式 kx2+(k+1)x+k=0 の判別
式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立
つための条件は k< 0 かつ D≦0
ここで D=(k+1)2-4・k・k=-3k²+2k+1
D≦0から
よって
D=α²-4・1・(a+3)=α²-4a-12=(a+2)(a-6)
=−(3k+1)(k-1)
(3k+1)(k-1)≧0
ks- -- 1≦k
3'
① とおく。
-2<a<6
<0 との共通範囲をとると k≦--
3
k≤- 1/13
以上から 求めるんの値の範囲は
◆下に凸の放物線が常に
x軸の上側にあるため
の条件と同じ(p.135 基
本事項2参照)。
(1)
下に凸
D<0
k
x
上に凸
D≤0
(2) 問題文に「2次｣ 不等式
とは書いてないので,
k=0 の1次不等式の場
合も調べる。
(2) [2]
x
