数1の背理法の問題です。 16番のときかたがわかりません。よろしくお願いします。

例題 2 'a+b/2 =0 を満たすならば, b=0 であることを証明せよ。 2が無理数であることを用いて,有理数a, bが 考え方 命題「a+b/2 =0→b=0」が成り立たない, すなわち, 偽である 15 とは,「a+bV2 =0 を満たすが, b=0 を満たさない」例が存在する ことである。 証明 12=- となる。 a+by2 =0, bキ0 と仮定すると, ニー 6 a, bは有理数であるから -も有理数となるが, これは、/2 6 が無理数であることに矛盾する。 よって, b=0 である。 細定」 例題2において, b=0 を a+b/2=0 に代入することにより, a=0 が導かれる。 x, yを有理数とする。例題2の結果とその補足を用いて, 25 (3x+y-1)+(x-2y-5)、/2=0 のとき, x, yの値を求めよ。 IDp.149回, p.151 3. 集合と命題 ク

写真のマーカー部分がよく分からないので詳しく教えていただきたいです。

例11 ¥2 は無理数であることを証明しよう。 12 は有理数であると仮定して, n V2 ニ m とおく。ただし, m, nは自然数とする。 V2m = n の両辺を2乗すると 2m? = n? を得る。いま, m, nを素因数分解したときの素数の個数を それぞれ s, tとすると, (*) の左辺, 右辺を素因数分解し たときの素数の個数は, それぞれ 2s + 1, 2t となる。 奇数 と偶数が一致することはないので, それは矛盾である。

数2 ここの内容が説明されてるサイト、YouTubeがあれば教えてください YouTubeで探しても前後の内容しか見つからず困ってます😥

, みは実数とする。 2次方程式 x+ax+6%3D0 が1+iを 一般に、係数が実数である2次方程式の解の1つがa+bi (a, bは実態 それと共役な複素数α-biも解である。 (解2)では、 この性質を用いて 20 4, bは実数とする。 虚数 3+2i が2次方程式 x+ax+b=0 の 解と係数の関係 (2) 30 3P っとき、定数a. bの値を求めよ。 (解1)1+iが解であるから 左運を展開して整理すると a+b, a+2は実数であるから これを解くと (a+b)+(a+2)i-0 a+b=0, a+2-0 a=-2, 63D2 り、これと共役な複素数1-iも解である。 解と係数の関係から よって a=ー2, 6=2 ■ 考) B 109 2次方程式 3.r+7x+p%=D0 の1つの解が そであるとき、他の無 よ。また。定数pの値を求めよ。 解であるとき,定数a, bの値と他の解を求めよ。 *111 2次方程式 x+ax+b=0 の2つの解を α, Bとする。 α+B. oR: する2次方程式がx+2ax+b+2=0 のとき, 定数a, bの値を求め 11 112 A君,B君の2人が2次方程式 ax"+bx+c=D0 を解いたところ。 係数めを読み違えたために x%=D2, 3 という解を導き、 B君は定数場。 読み違えたためにx=3, 4 という解を導いた。 正しい解を求めよ。11 113 次の式を,(ア) 有理数 (イ) 実数 (ウ) 複素数 の各範囲で因数分解 (1) x-5x+6 (2) 3x*+x°-2 B CLear 114 2次方程式 xーがxーカ=0 の2つの解が, x°+px-1=0 の2つの無 それぞれ1を加えたものであるとき, 定数かの値を求めよ。

なぜaとbは自然数なんですか？

75 基本例題 43 V3 が無理数であることの証明 命題「nは整数とする。 n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真で ある。これを利用して, V3 が無理数であることを証明せよ。 を証 基本 42 23,44 CHART SOLUTION 直接がだめなら間接で 背理法去 V3 が無理数でない (有理数である)と仮定する。このとき, V3=r (rは有理 数)と仮定して矛盾を導こうとすると, 「/3=r の両辺辺を2乗して, 3=r」とな 証明の問題 2章 り,ここで先に進めなくなってしまう。 そこで, 自然数a, bを用いて 13= 6 (既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。 解答 日/3 が無理数でないと仮定する。 このとき/3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約数 合既約分数:できる限り 約分して, aとbに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 a, bの最 大公約数が1であるとき, aとbは互いに素である という(数学A参照)。 をもたない2つの自然数 a, bを用いて, V3=D と表される。 a=V36 α=36° よって, α'は3の倍数である。 ゆえに 両辺を2乗すると の 36) αが3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, えを自然数と 下線部分の命題が真で あることの証明には対 偶を利用する。 は して a=3k と表される。 これをOに代入すると 9=36° すなわち 6°=3k? よって, 6°は3の倍数であるから, bも3の倍数である。 ゆえに, aとbは公約数3をもつ。 これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。 したがって, V3 は無理数である。 INFORMATION 例題で真であるとした命題「n°が3の倍数ならば, n は3の倍数である」の逆も真で ある。また, 命題「n°が偶数(奇数)ならば, nは偶数(奇数)である」および, この逆 も真である。これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使 われるので, 覚えておこう。 PRACTICE …43°円 命題「nは整数とする。 n'が7の倍数ならば, nは7の倍数である」は真である。 こ 論理と集合」

数学の質問です。 背理法を用いる時に問1(1)などのように有理数だと仮定する数字をmなどの１つの文字で証明していく場合や、問2のようにm/nで証明する場合があると思います。 どうやってみわければよいのでしょうか？

西え:別冊31ページ 不 次の問いに答えなさい。 100 a>0 (1) 15 が無理数ならば, 1+V20は無理数であることを証明しなさい。 1) 不 (2) /6 が無理数ならば, V3-V2は無理数であることを証明しなさい。 2 15が無理数であることを証明しなさい。ただし, 整数 n について, n'が 5の倍数ならば, nは5の倍数であることを用いてもよいものとします。 8 10分) (1 (3 7.r-10 (3.r-2)(x+2) に,定数 a, bの値を定めなさい。 等式 a がェについての恒等式となるよう ニ 3.c-2 2+2 10分

左側が問題、右側が回答です。 四角3番の(1)②の回答の式変形で±の符号がどのように変化しているのかがわかりません。教えてくだい。

(2) のは,結論の方が式が立てやすいので, 対偶を証明するとラクである。 を有理数と仮定すると, /2 は既約分数(p. qは整数, pキ0) と表せる(とく より p, qは自然数としてよい)。 このとき p, qは互いに素であるから、このこと 第1章 数と式, 問題させ、 第1章 数と式,集合と論理 3背理法 Lv.★★★★V の 第1回 解答は12ページ 考え方 2 は既約分数 p は整数, pキ0)と表せる(と を証明す 1 Lv.★★★ れ=1 2 を有理数と仮定すると, 9 = 3 次の問いに答えよ。 (1)a+6°+c° =1をみたす複素数a, 6, cに対して, x=a+b+cとおく。 このとき, ab+ bc+caをxの2次式で表せ。 2) a°+6°+c°=1, α+が+c°=0, abc = 3をすべてみたす複素数aん cに対して, x=a+b+cとおく。このとき,xー3x の値を求めよ。 て矛盾を導こう。 よって、 対偶 Process 解答 (1) ① 12 が有理数であると仮定すると V2= (ただし, pとqは互いに素な自然数) (早稲田大) 「N2は有理 Y/0 2 Lv.★★★ 解答は13ページ p と表せ と表せる。両辺を2乗すると にあてはまるものを, x, yを実数とする。下の(1), (2 )の文中の 次の(ア),(イ), (ウ), (エ)の中から選べ。 2= が 「分子は開散。 右辺に →= 2が 右辺は偶数であるから, q° は偶数,すなわち, qgも偶数である。 よって、q=2q' (g'は自然数) とおけて 2p= (2g)°=→ が3D2q'° がは偶数であるから, pも偶数である。すなわち, pもqも 偶数となり,pと qは互いに素であることに矛盾する。 したがって,仮定は誤りで, V2 は無理数である。 (証終) 2 aが有理数であると仮定すると りuも (ア)必要条件ではあるが,十分条件ではない。 (イ)十分条件ではあるが,必要条件ではない。 (ウ)必要条件であり,かつ, 十分条件である。 (エ)必要条件でも, 十分条件でもない。 本 よっ 「分母は偶数」 は 「分子と分はなわ に矛盾 とに) (1)x+y?<1は, -1<x<1であるための (2) -1<x<1かつ-1<y<1は, +y°<1であるための し 「aは有理数 (関西大図) 『=+(ただし、 sとtは互いに素な自然数) 3 Lv.★★★ 20 と表せる。aは α+α+1=0をみたすから いと 解答は14ページ を背 (+)+キ+ ニ=ーts±) (複号同順) 背 1=0→ t 与式に代入 次の各設問に答えよ。 (1)0 V2 が無理数であることを証明せよ。 ② 実数αがα+α+1=0をみたすとき, aが無理数であることを 証明せよ。 (2)0 nを自然数とするとき, n°が3の倍数ならば, nは3の倍数に なることを証明せよ。 ② ¥3が無理数であることを証明せよ。 国のせ さ すそ 理数 右辺は整数であるから, 左辺も整数でなければならず, s, tは 互いに素な自然数であるから、 t=1である。 よって、(*)より 00 土s°土s+1=0 → s(s°+1)3D1 sは自然数なので, sZ1, s"+1>1であるから(左辺)>1 となり、(右辺)= ±1に矛盾する。 (複号同順) 式を変形し、 したがって、仮定は誤りで、 αは無理数である。 (2) 0 対偶 (明治大) (証終) 8 14

これが成り立つ意味をわかりやすく教えてください❗️❗️

p, qが有理数のとき, p+q/3 =0 ならば, カ=0, かつ q=0 が成り立つ。

(5)を教えていただけないでしょうか？

Sin A 13 5) Vc+4V4+2v3= av3+bが成り立つ, 自然数の組 (a, 6, c) を 2つ求めよ 5) 0°S360° のとき, sin@= -を満たす@の値を求めよ.

［4］(1)以外わかりません。わかる問題だけでもお願いしたいです。

[4]次の整式を a^-1 で割ったときの余りを求めなさい。 2.リ X-1 (1) z100 - 1 (2) 50 - 1 X25-1 [5]4次方程式 2*-3c* + a.c?+ bx - 150 = 0 の1つの解が1+26 であるとき、 a,6 の値と残りの解を求めよ。ただし a,b は実数である。 [6]次の数を解に持つような有理数係数の代数方程式を求めなさい。 (1) V3- V8 (2) V5- V2 [7] 次の式の分母を有理化しなさい。 1 V4+2(V2) + 5

センター数IIB過去問です。 丸印がついているところの解説をお願いしたいです。

(2) 有理数yは、7進法で表すと, 三つのの数子の並びab が繰り返し海 (i) y-2は,分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。 「急頭)(時問発護 のルールを あは0以上6以下の異なる整数であ であるからび0点にならない場合は、 コインをす後げ終わった時点で 「第 小数2.abm になるとする。ただし, a, (0S 点は0点とし、 第 る。このとき さ 3E.S小 x () 49 ×y-y= 2ab. abn - 2. ab(n * 持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。 アする。 オカ|+7×a+b キク っ時ち点郎.389 点である確卵は ウ コインを2回 であ と表せる。た。コインを2回投げ終わやケ最べ 過なぎる事は (i) yが、分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは 持ち点が0点になることが起てるのは エやを キ回投げ終 わっyミー またはをy= 受げ終わって持ち点が0点になる >ペー太対間 学1等態) は の のときである。y= コサ のときは,7×a+b=シスであるから 4 した時点で歩ち点が4点である確率は である。 サシ」 a= b = 4点であるとき、コインを2回投げ終 である。ち点がし点である条件付き率は セ このようなyの個数は,全部で、 個である。