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163 直方体
右図のような直方体 OADB-CEFG において
OA=a, OB=6,DC=c とおく.
\G
F
P
||=1,|6|=2, ||=3 とし, 2点E, Gを通る C
直線を とする.
E
(1) OE, OG を
で表せ
(2)Pを1上の点とする. このとき, OPは実数
tを用いて, OP =OE+tEG と表せる。
(ア) OP⊥EGとなるtの値を求めよ.
(イ)△OEP が二等辺三角形となるときの
値をすべて求めよ.
3
B
O
2 b
a
1 A
AA
D
()()
(2) (ア) OP, EG (=OG-OE) を a, L, で表し,|a|=1,||=2,
精講
||=3, a1=c=cd=0 を用いて計算すれば, tの方程式が
でてきます. これを解けば答えはでてきます.
(イ) 二等辺三角形という条件は要注意です. それはどの2辺が等しいかによっ
て,3つの場合が考えられるからです。
注
→3つの場合でしらべる
三辺の距離を求める
(イ)|OE|=12+32=10
|OP|=|(1-t)a+t+c
(1) 画
=(1−t)|a²+b²+1c1² (a+b=b.c=c.a=0)
J30=12-21+1+4t²+9=5t²-2t+10
|EP|=|tEG|2=5t2 ←
(i) OE OP のとき, OEPOP より,エース
253
10=5t2-2t+10 t(5t-2)=0.. t = // (t=0は不適
(OPEP のとき,|OP|=|EP|より
5t2-2t+10=5t2
2t+10=0 :.t=5
POE のとき,|EP|=|OÉRより,平日
5t2=10 t2=2. t=±√2
(1)〜() より t=±√2,
5'
(2) 直方体では, 座標も有効な手段です. すなわち, A (1, 0, 0),
B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) とおくと, EG=AB だから
OP= (1,0,3)+t(-1,2,0)=(-t+1, 2t3) と表せ,
P(-t+1, 2t, 3), E (1, 0, 3) と座標で表して, OP2, EP2, OE' を計
算します。
解答
(1)
OE=OA+OC=d+c
OG=OB+OC=6+
(2) (ア)OP=OE+tEGOE+(OG-OE)
=a+c+t(-a)
=(1−t)a+to+c
OPEG = 0 だから
{(1-t)a+to+c)(-a)=0
. (t−1)|at|62=0
||=1,||=2より
t-1+4t=0
5
( à·b=b.c=c·à=0)
ポイント単に「二等辺三角形」「直角三角形」 とあったら, 場合
が3種類あることに注意
演習問題 163
右図の直方体において, AG = (5, 5, -3),
H
G
AC=(3,1,2), BH=(3,1,-7) が成りた
っている.
(1) AB, AD, AE を成分で表せ.
(2)直線AH 上に, △ABP が二等辺三角形 A
となるように点Pをとる.
(ア)
<BAH= を示せ.
(イ) A=tA となる実数tの値を求めよ.
Di
F
第8章
