53 関数の連続
関数 f(x) を次のように定める.
x²+ax
(x<1)
x-1
f(x)= [x]
(1≤x≤2)
x2+bx+α (2≦x)
ただし, [x] はxを超えない最大の整数を表す.
このとき,f(x)がすべてのxで連続となるような a, b を求めよ。
「関数f(x) がx=αで連続である」とは
精講
limf(x)=f(a)
xia
が成りたつとして定義されますが, limf(x)は,rが右から1に近づくときと、
左から近づくときで f (x) の式が異なるので, 52 で学習したように
「左側極限と右側極限がf (1) に一致する」と考えます。
解答
x=1, x=2のとき連続だから, x=1, 2 のときを考える.
i) x=1 における連続性
f(1) =1であり,
limf(x)=lim[x]=1 だから, lim f(x) =1であればよい.
x→1+0
x→1+0
lim f(x) = lim
x-1-0
x+ax
→1-0 x-1
x→1-0
(Sa
-=1 となるためには, lim (x-1)=0 だ
x-1-0
から
lim (x2+ax)=0
x-1-0
であることが必要.
.. 1+α= 0
よって, a=-1
このとき, lim f(x) = lim
-x
x-1-0
→1-0 x-1
となり、確かに適する.
lim x=1
x→1-0
Amil (8)
49
吟味が必要
ので
であればより
CLE
ボイン
