Question

みかんちゃん

(3)(4)の問題の解き方がわからないので教えてください
2,3枚目の写真のように解く問題です

06 次の関数は点 (0, 0) において連続であるかどうかを調べよ.
x-y'
(1) f(x,y)=
x2+y2
((x, y) =(0, 0) のとき)
0
((x, y) = (0,0) のとき)
(2) f(x, y) =
=
xy+√x2+y2
Vic2+y2
((x, y) = (0, 0) のとき)
1
((x,y)=(0,0) のとき)
(3) f(x, y)
==
πsin(x2+y^)
x2+y2
((x, y) = (0, 0) のとき)
0
((x,y)=(0,0)のとき)
x²y²
((x, y) ≠ (0, 0) のとき)
(4) f(x,y)=
x+ya
==
0
((x,y)=(0,0) のとき)

例題 2 次の関数は点 (0, 0) において連続であるかどうか調べよ.
x2-y2 ((x,y)=(0, 0) のとき)
x2+y2
(1)f(x,y)=
0
((x,y)=(0,0)のとき)
(2) f(x,y)=
ys
x2+y2
((x, y) ≠ (0,0) のとき)
0
((x,y)=(0,0) のとき)

(1)x=rcose,y=rin0 とおくと
x²-y2
r2 cos20-r2 sin 20
=
x2+y2
2
= cos20 - sin20
これは0によっていろいろな値をとる.
よって, 極限値
連続でない.
limf(x, y) が存在せず,f(x, y) は (0, 0)
(x,y)-(0,0)
(2) π=rcos 0, yrsin0 とおくと
y3
r3 sin 0
=
x2+y2
= r sin³ 0
p2
したがって
y3
==
lim
(x,y)→(0,0)x2+y2
r0
となるから,f(x, y) は点(0, 0) において連続である.
limrsin00= f(0, 0)