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3700000
(1) 双曲線x-y2=1と直線y=-x+tとの交点を考えて, この双曲線を媒介変
数 tを用いて表せ。
(2) t を媒介変数とする。x=3
形を表すか。
J=
3
1+t2
指針(1) x,yをtで表すために、2つの方程式をx,yの連立方程式とみる。
3t
1+t2
ここで,交点が存在するためには, 双曲線の漸近線の1つが直線y=-x であることか
ら直線y=-x+tでt=0 となることも必要。
(2) x=
からtをxで表して, yの式に代入するのでは大変。 ここでは,
=tx とみることがポイント。
=t•
......
3
1+t2
解答
(1) x2-y2=1
②を①に代入して整理すると
双曲線と直線の交点が存在するためには
ゆえに
t2+1
2t
x=-
①, y=-x+t
これを②に代入して
Toat
t2+1
2t
①.
1+t²⁹ y=
y=-
したがって x=
3
2) x=-
1+t
①を②に代入して y=tx
y=
9 y=-
3t
1+t²
これを①に代入して整理すると
x=0であるから
③ に x=0を代入すると
......
t2+1
2t
t²-1
2t
2tx=t2+1
x2+y²-3x=0
3t
1+t2
② とする｡
+t=
......
で表された曲線はどのような図
■p.134 基本事項 ①
t=0(*) j
t²-1
2t
・②とする。
①より, x=0であるから t=2 (Onia(d+)
x
x(x2+y2-3x)=0
y=-x AY
(x,y)
①
(K,x)=TO
(6-YA)=50
y 3-2
O
0
(*) 2tx=t2+1 で t=0 とす
ると 0=1 となり,矛盾が生
じることから, t≠ 0 を導いて
もよい｡
3
N/W
32/2
y=x
----
(x,y)
135
IRO
y=tx_
3x
y=0
3
9
よって,円(x-212)
2+y=1/27 の点(0, 0) を除いた部分。
例題(1)では、双曲線の番近線に平行な直線y=-xtf(t0) と双曲線は交点を1つだけも
