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数学 高校生

数Ⅲ 逆関数 青チャ 下の写真の青マーカーのところです。どうしてこのような式変形になったのかが知りたいです。 お願いします

基本 例題 96 逆関数がもとの関数と一致する条件 bx+1 x+a α, b は定数で, ab=1 とする。 関数y= と一致するための条件を求めよ。 解答 指針 2つのxの関数f(x), g(x) が一致する (等しい)とは [1] 定義域が一致する [2] 定義域のすべてのxの値に対して f(x)=g(x) が成り立つことである。 この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式 となる ための必要十分条件を求める。 何がおきた?? bx+1_b(x+α) +1-ab1-ab = x+a したがって, ① の値域は ① から y(x+α)=bx+1 y=bであるから x= よって, ① の逆関数は x+a y=b -ay+1 y-b y=- x+a ゆえに x(y-b) = - ay+1 -ax+1 x-b +b (x+b) bx+1 x+a ****** _ -ax+1 x-b ①の逆関数が,もとの関数 [奈良大] ①と②が一致するための条件は、 がxの恒等式となることである。 ③ の分母を払って xについて整理すると (a+b){x^²+(a-b)x-1}=0 これがxの恒等式であるから a+b=0 (すなわちb=-α) このとき、①と②の定義域はともにxキーαとなり一致する。 ****** 3 基本95 別解 定義域が一致すること に着目した解法。 f(x)= とする。 f(x) の値域はy=6であるか ら、逆関数f'(x) の定義域は x=b bx+1 x+a f''(x)=f(x) であるとき, f(x) の定義域 x αが xbに一致するから a=b (必要条件 ) このとき, f(x)=ax+1 x+a (bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+α) の逆関数はf(x) に一致する ( 十分条件)。 この確認を忘れずに! 167 3 13 逆関数と合成関数

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数学 高校生

数Ⅲ 媒介変数表示  青チャ 下の写真の青マーカーのところがわかりません。 なぜ、どこからこの式が出てきたのでしょう? あと、マーカー引き忘れて申し訳ないのですが、その下のxとyを0とそれぞれ置く理由も知りたいです 教えていただきたいです。よろしくお願いします

基本例題 74 媒介変数表示と最大・最小 x² 000 =1 (0<b<a) の第1象限の部分上にある点Pにおける楕円の法線 が,x軸,y軸と交わる点をそれぞれ Q R とする。 このとき, △OQR (Oは原点) の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。 [類 立命館大] 楕円 指針 点Pにおける法線は, 点Pを通り, 点Pにおける接線に垂直な直線である。 そこで まず 点Pの座標を媒介変数 0 で表し, 点Pにおける接線の方程式を求める。 また, 点Pは第1象限の点であるから, 媒介変数の値の範囲に注意して △OQRの面 積Sのとりうる値の範囲を考える。 解答 条件から,P(acos0, bsine) (0<< 2 ) と表される。 acos o bsino a² (bcos/)x+(asin0)y=ab 点Pにおける接線の方程式は すなわち ① に垂直な直線は, (asin)x- (bcos0)y=c (cは定数) と表される。(*) これが点Pを通るとき よって, 点Pにおける法線の方程式は x= c=asin0•acos o-bcos0・bsin 0 =(a²-62) sinocoso a²-6² a (asin0) x- (bcos0)y=(a²-b^)sin0coso ② において, y=0, x=0 とそれぞれおくことにより -cos 0, y=- *cos0>0, +x. ゆえにQ(a-b cose, 0), R (0, b cose, a²-b² b a²-b² b ここで, 0<b<α, sin> 0, cos0 >0 より a²-6² a 6² y=1 sin0 o), R(0, -a²-b² sine) b ****** S=1/1OQ・OR (a²-6²)² *sin 0 cos0= 2ab 0<0</1より、0<20<πであるから (a²-b²)² したがって 0<S≤ 4ab -sin0 <0であるから 1 a²-b² a²-b² b 2 a cos g (a²-b²)² Aab -sin0 -sin20 0 < sin20≦1 p.129 基本事項 [②] b Posinor 0 ◄b² <a² OR= RI - b P QVa (*) 2直線px+qy+r= 0, qx-py+y=0 は互いに垂 直である。 なお, 点 (x1,y) を通り, 直線 px+qy+r=0 に垂直 な直線の方程式は q(x-x)-p(y-y)=0 このことを用いて②を導 いてもよい。 <sin 0 cos0= acoso a²-b² sine b ぎ sin20 2 20= すなわち04 ときSは最大となる。 3 2章 1 媒介変数表示 10

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