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基本 例題94 座標軸に接する, 直線上に中心をもつ円
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次の円の方程式を求めよ。
(1)x軸とy軸の両方に接し,点A(-4, 2) を通る。
(2) 点A(1, 1) を通り,v軸に接し,中心が直線y=2x 上にある。
基本
指針>座標軸に接する円の方程式については, 中心と半径の表し方 がポイント。
(1) x軸とy軸の両方に接し,第2象限の点Aを通ることから,円はx£0, yz00
半径rの
D 円と
にある(解答の図参照)。よって, t>0として, 中心は(-t, t), 半径は。
したがって,求める円の方程式は
(2) [1] 中心は直線y=2x 上にあるから, その座標は(t, 2t)と表される
[2] y軸に接するから, 円の半径は, 中心のx座標の絶対値|t|に等しい。
よって,求める円の方程式は, (x-t)+(y-2t)=It|? と表される。
とおける。
円の
とし
2 円と
のと
の中
ココ
解答
(1)) x軸とy軸の両方に接し,点 A(-4, 2) を通るから, 中心
はt>0 として,(-t, t) とおくことができる。
また,半径はtであるから, 円の方程式は
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A(-4,2)
解
点A(-4, 2) を通るから, x=-4, y=2を代入して
(-4+)°+(2-)=が+1-
-12t+20=0
(t-2)(t-10)=0
t=2, 10
これをOに代入して,求める円の方程式は
(x+2)+(y-2)=4, (x+10)°+(y-10)°=100
(2) 中心は直線y=2x上にあるから,その座標は(t, 2t) と表
される。また,円はy軸に接するから,円の半径は中心のx
座標の絶対値に等しい。 よって, 円の方程式は
(x-)°+(y-2t)=|t|2
点A(1, 1)を通るから, x=1, y=1を代入して
<円と直
整理して
-10-2 01
ゆえに
次方
「中心のx座標
=|中心のy座標
=半径 となる。
よって
数と
この
(答えは2通り。
/リ=2
yA
aニ
の
整理して
Cの
2t?-3t+1=0
(t-1)(2t-1)=0
これをOに代入して, 求める円の方程式は
ゆえに
よって
1
t=1,
ン軸に接し,中心
一21
か
ソ=2x上にあり、
1象限の点(1,
5, 中心のx座標、
x
る
4
はともに正。
画 川1 J6
