18番の解き方が分かりません。解説お願いします🙏

18 19 ときの余りが-3となるように、 定数 α, 6の値を定めよ。 →P.60 練習問題 多項式P(x) を(x+1)(x-2)で割ったときの余りは 5x +7である。 このとき,P(x) をx+1で割ったときの余りを求めよ。 1の3乗根のうち虚数であるもの →P.61 練習問題

数II　剰余の定理です なぜ2次式で割ると 余りが1次式または定数になるのかが分かりません 教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️

90 の 基本例題 53 剰余の定理の利用 (1) 多項式 P(x) を x-2で割ると3余り, x+3で割ると -7余る。 P(x) を 基本 52, C 重要 57 (x-2)(x+3) で割ったときの余りを求めよ。 [中央大] CHART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+ R を利用 (余りR の次数) < (割る式の次数)が決め手 one 2 THAM 2 割る式 (x-2)(x+3) は2次式であるから, 求める余りは1次式または定数である。 したが って、余りはax + b (a, b は定数) とおける。 P(x) 商Q(x), (x-2)(x+3), ax+bを 用いて表し, 剰余の定理により α, bの連立方程式を作る。

指針の部分の「2次式〜〜で割ったときの余りは一次式または定数であるから」とありますが、なぜそうだと分かるんですか？3次式とかの可能性はないんですか？

重要 例題 194 (x-α)2で割ったときの余り (微分利用) xについての整式f(x) を (x-a) で割ったときの余りを,a, f(a),f'(a) を用 いて表せ。 [早稲田大〕 針 整式の割り算の問題では,次の等式を利用する。 A = B XQ+ R 割られる式 割る式商余り p.303 参考事項 重要 55 本 aes. ( 1232次式(x-α)で割ったときの余りは1次式または定数であるから (f(x)=(x-a)"Q(x)+px+q [Q(x)は商, b, qは定数] 平) が成り立つ。この両辺をxで微分して、商Q(x) が関係する部分の式が=0 となるよう な値を代入すると, 余りが求められる。 305 6章 34 微分係数と導関数

至急！！！高2数学です 写真の赤線の部分の意味を教えてください 詳しく教えていただけると嬉しいです！！

2 重解をもつ条件 基本例題 63 3次方程式x3+(a-1)x2+(4-α)x-4=0が2重解をもつように,実数の 定数aの値を定めよ。 基本 61 CHART & SOLUTION 3次方程式の問題 人数分解して(1次式)×(2次式)へもち込む x=1 を代入すると成り立つから、与えられた方程式は (x-1)g(x)=0 g(x) は2次式] の形となる。 ここで,「2重解をもつ」のは次の2通りで、場合分けが必要。 [1] 2次方程式 g(x)=0が1でない重解をもつ。 [2]x=1 が2重解→g(x)=0の解の1つが1で,他の解は1でない。 解答 f(x)=x²+(a-1)x2+(4-α)x-4 とすると f(1)=1+(a-1)・12+(4-α)・1-4=0 よって, f(x)はx-1 を因数にもつから f(x)=(x-1)(x2+ax+4) ⑩ ゆえに, 方程式は (x-1)(x2+ax+4)= 0 したがって x-1=0 または x2+ax+4=0 この3次方程式が2重解をもつ条件は,次の [1] または [2] が成り立つことである。 [1] x2+ax+4=0が1でない重解をもつ。 判別式をDとすると D = 0 かつ 12+α・1+4=a+5 = 0 D=α²-16=(a+4) (a-4) D=0 とすると α = ±4 これは α+5≠ 0 を満たす。 [2] x2+ax+4=0 の1つの解が1,他の解が1でない。 x=1 が解であるから 12+α・1+4=0 よって a+5=0 ゆえに a=-5 このときx2-5x+4=0 よって これを解いて (x-1)(x-4)=0 NOHTS! 1 a x=1,4 -+- したがって、他の解が1でないから適する。 [1], [2] から 求める定数αの値は a=±4, -5 1 a-1 4-a -4 1 4 a 15 4 0 別解 次数が最低の文字 α について整理する方針で, 因数分解してもよい。 |x-x2+4x-4+α(x2-x) =(x-1)(x2+4)+αx(x-1) =(x-1)(x2+ax+4) inf. 次のように考えても よい｡ [2] x2+ax+4=0 の解が 1とβ (1) のとき, 解 と係数の関係から 1+β=-a, 1・β=4 β=4 は適する。 このとき α=-5 NO SODAN 2章 9 高次方程式

「xにaを代入すると」 ここが、なぜaを代入するのかがわかりません。 どうしてaを代入するんですか？ 教えてくださいm(_ _)m

XC 05 剰余の定理と因数定理 ある整式Pが文字 æについての整式であることをはっきり示したいとき には, P(x) のように書く.例えば P(x) = x³ + x² - 2x-5, Q(x) = 2x³ + 5x² + x − 2 P(z)のæに特定の値を代入したときの式の値をP(α) で表す。 例 10 上の P(x), Q(x) について P(x)=x3+x2-2x-5 代入 P(2) = 23 + 22 -2.2-53 値 同様にQ(−1)=-2+5-1-2=0 ・16 P(x) = 2.23 +32-5x+4,Q(x)=-x' + x2-2x+1につい て,次の整式または値を求めよ.ただし,αは特定の値とする. (1) P(x) + Q(x) (2) 2 P(x)-3Q(x) (3) P(1) (4) Q(0) (5) P(a) (6) Q(-a) 上の例の整式 P(x)=x+x2-2-5を x-2で割ると,商が x2 +3x+4で余りが 3となる.この余り3は,例で求めた値 P(2) に等しい. その理由を説明しよう. 11ページの除法の等式より, 整式P(x) を 1次式æ-aで割った商をQ(x), 余りをRと すると, R は定数で P(x)=(x-a) Q(x) + R にaを代入すると 整式 P(a) = (a-a) Q(a) + R =0.Q(a)+R=R したがって, 値P(a) と余り Rは一致する. x²+3x +4 x−2) x³ + x² − 2x – 5 x³ - 2x² 3x² - 2x 3x² - 6x 4x-5 4x-8 3

なぜ、このもんだいにおいて、Kと置けることができるのか？ 丸で囲ったところのKです。

基本 例題 119 領域と1次式の最大・最小(1) x,yが3つの不等式 3x-5y≧-16, 3x-yS4, x+y≧0 を満たすとき, P.185 基本事項 重要 124 2x+5yの最大値および最小値を求めよ。 指針 連立不等式を考えるときは,図示が有効である。 まず, 条件の不等式の表す領域D 示し, f(x,y)=kとおいて, 図形的に考える。 [12x+5y=k 7 ① とおく。これは、傾き 12/2,y切片 // の直線。 [②2] 直 ① 領域Dと共有点をもつようなkの値の範囲を調べる。 kt 直線①を平行移動させたときのy切片の最大値・最小値を求める。 CHART 領域と最大･最小 図示して =kの直線(曲線)の動きを追う - 解答 与えられた連立不等式の表す領域 をDとすると領域は、3点 (1,1), (-2,2),(3,5) を頂点とする三角形の周および内 部である。 x+5y…... ① とおくと, (-2,2) O 2 5' (3,5) (1,-1) k=31 3<k<31 境界線は 3x-5y=-16 から 3 16 それは傾き y切片 18 の直 を表す。 の直線 ① が領域Dと共有点をもつようなkの値の最大値と 小値を求めればよい。 から,kの値は、 直線 ① が点 (3,5) を通るとき最大になり、 直線 ① の傾きと, Dの境 (1,-1) を通るとき最小になる。 ..... 界線の傾きを比べる。 って, 2x+5yは 直線①がDの三角形の信 点を通るときに注目。 x=3、y=5のとき最大値 2・3+5・5=31, x=1, y=-1のとき最小値 2.1+5・(-1)=-3 る。 k-3 3x-y=4から y=3x-4 x+y=0 から y=-x 境界線の交点の座標を求め ておくこと。 ★①からy=-1/2x+1/5

この問題がどうやってとくのか回答を見てもしっくりきませんどうやってとけばいいのか教えてください

里勝をもつ条件 3次方程式(a-1)x2+(4-a)x-4=0が2重解をもつように, 実数の 定数αの値を定めよ。 基本 61 CHART & SOLUTION 3次方程式の問題 因数分解して (1次式)×(2次式) へもち込む x=1 を代入すると成り立つから, 与えられた方程式は (x-1)g(x)=0[g(x)は2次式] の形となる。 0 ここで, 「2重解をもつ」のは次の2通りで、 場合分けが必要。 [1] 2次方程式g(x)=0が1でない重解をもつ。 [2]x=1が2重解 - 解答 → -6.655 f(x)=x+(a-1)x2+(4-a)x-4 とすると g(x)=0の解の1つが1で、他の解は1でない。 f(1)=1+(a-1)・12+(4-α) ・ 1-4=0+dps- (p +alth) = ① ゆえに, 方程式は したがって よって, f(x) は x-1 を因数にもつから f(x)=(x-1)(x2+ax+4) (x-1)(x2+ax+4)= 0 x-1=0 または x2+ax+4=0 この3次方程式が2重解をもつ条件は,次の [1] または [2] が成り立つことである。 [1] x2+ax+4=0が1でない重解をもつ。 判別式をDとすると ----- D = 0 かつ 12+α・1+4=a+5≠0 D=α²-16=(a+4) (a-4) PRACTICE 63 ③ 3 D=0 とすると α = ±4 これは α+5≠ 0 を満たす。 [2] x2+ax+4=0の1つの解が1, 他の解が1でない。 12+α・1+4=0 x=1 が解であるから よって ゆえに a=-5 このとき よって これを解いて x=1,4 (土) したがって,他の解が1でないから適する。 [1], [2] から 求める定数 α の値は a+5=0 x2-5x+4=0 (x-1)(x-4)=0 3次方程式 3-² Hold1a-1 4-a a=±4, -5 0 FOX 1 a a 4 0 20 別解 次数が最低の文字 α について整理する方針で, 因数分解してもよい。 x-x2+4x-4+α (x2-x) -4 [1 4 =(x-1)(x2+4)+αx(x-1) =(x-1)(x2+ax+4) inf次のように考えても よい。 [2] x2+ax+4=0 の解が 1とβ (1) のとき, 解 と係数の関係から 1+β=-α, 1・β=4 β=4 は適する。 このとき α=-5 10 高次方程式

なぜ急に判別式が出てきたのですか…？ また判別式は実数解の個数を求める以外にどういう時に使うのでしょうか…🥲

+a+6 x ta り 000 4.x2+7xy-2y-5x+8y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように, 定数kの値を定めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 〔類 創価大〕 CHART & THINKING 2次式の因数分解 =0 とおいた 2次方程式の解を利用 「x,yの1次式の積に因数分解できる」 とは, (与式)=(ax+by+c)(dx+ey+f) の形に表 されるということである。 また, 与式をxの2次式とみたとき (yを定数とみる), (与式)=0 とおいた2次方程式 4x2+(7y-5)x- (2y²-8y-k)=0 の判別式をDとする 1(x− −(7y−5) + √D₁}{x__(7 v−8) - √ Di 8 と 与式は 数がx,yの1次式となるのは、D,が(yの1次式) すなわち」についての完全平方式のと きである。それは, Di=0 とおいて,どのような条件が成り立つときだろうか? 解答 (与式)=0 とおいた方程式をxの2次方程式とみて 4.x²+(7y-5)x-(2y²-8y-k)=0 1 の判別式を D とすると D=(7y-5)²+4・4(2y²-8y-k)=81y²-198y+25-16k 与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は,① の 解がyの1次式となること,すなわち D がyの完全平方式 となることである。 D1 = 0 とおいたyの2次方程式 81y²-198y+25-16k=0 の判別式を D2 とすると D²=(-99)²-81(25—16k)=81{11²—(25—16k)} =81(96+16k) 0 D2=0 となればよいから 96+16k=0 よってん=6 このとき, D=81y²-198y+121=(9y-11) であるから, ① の解は すなわち ゆえに の形に因数分解できる。この因 8 -(7y-5)±√(9y-11)-(7y-5)±(9y-11) 8 ry-3 x=1-3, -2y+2 OUTRORSU (与式)=4x-2-3)(x-(-2y+2)} =(4x-y+3)(x+2y-2) 基本 20,46 2014 1865 105 int 恒等式の考えにより 解く方法もある。 ( 解答編 および p.59 EXERCISES 15 参照) ← D1 が完全平方式 ⇔ 2次方程式 D1=0 が重 解をもつ 計算を工夫すると 992(9.11)2=81･112 (e √(9y-11)2=|9y-11| であるが, ±がついて いるから, 9y-11の絶 対値ははずしてよい。 括弧の前の4を忘れな いように。

解き方教えてください！

19-ax2+xy+2x-y-3を因数分解してみよう。 解答xについては2次式, yについては1次式であるから、 ついて整理すると, x2+xy+2x-y-3

３番を純粋に因数分解するのは複雑なように思うのですが、 公式として暗記するほうがいいですか？

22 重要 例題 9 掛ける順序や組み合わせを工夫して展開 (2) 00000 次の式を計算せよ。 (1) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (5) (2) (3) (a+b+c)(a²+b+c-ab-bc-ca) 文) (平は) (a+b+c)²+(b+c-a)²+(c+a−b)²+(a+b=c)² _ x){(S-x)(1+x); m^{ 基本7.8~] 指針▷ 前ページの例題同様, ポイントは掛ける順序や組み合わせを工夫すること｡･･･ [ (1) 多くの式の積は、 掛ける組み合わせに注意。 4つの1次式の定数項に注目する。 (-1)+(-4)=(-2)+(-3)=-5であるから (x-1)(x-4)×(x-2)(x-3)=(x2-5x+4) (x2-5x+6) 共通の式 x²-5x が出る (2) おき換え を利用して, 計算をらくにする。 6+c=x, b-c=yとおくと (5x)=(x+a)²+(x-a)²+(a−y)²+(a+y)² (3) ( )内の式を1つの文字αについて整理してみる。 CHART 多くの式の積掛ける順序・組み合わせの工夫 解答 (1) (与式)= {(x-1)(x-4)}×{(x-2)(x-3)} ={(x2-5x)+4}×{(x2-5x)+6} =(x2-5x)+10(x2-5x)+24 =x-10x3+25x2 +10x²-50x+24 To=x²-10x³ +35x²-50x+24 (2) (与式)={(b+c)+α}+{(b+c)-α}^ +{a_(b-c)}+{a+(b-c)} =2{(b+c)^+α²}+2{a²+(b-c)"} (=4a²+2{(b+c)²+(b-c)²} =4a²+2.2(62+c²) (₁+0=4a²+46² +4c² (3) (与式)={a+(b+c)}{a²-(b+c)a+b²-bc+c2} =a²+{(b+c)-(b+c)}a^ >* TIAH +{(62-bc+c²)-(b+c)^}a+(b+c) ( 62-bc+c2 ) =a³-3bca+b³ + c³ =a³ + b³ + c³-3abc 4000)() <x-5x=t とおくと (t+4) (t+6) =t2+10t+24 2) (11(x+y)²+(x−y)² =2(x+y^) となることを 利用。 (a+O)(a²-▲a+[ とみて展開。 ◄(b+c)(b²-bc+c²)=b³ + c³ (3) の結果は公式として使 「ってよい。