a+1, a,の係数がnの式の問題では,an+, an の係数がそれぞれf(n+1),
重要例題 114 s(n)a= b, とおく漸化式
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
508
12) a=2, nan+1=(n+1)an+1
dn+1- dn
「n+1
基本95.
lOLUTION
CHART O
「(n)となるように式変形をする。
となっている。
an+1の係数が
n
(1) 与えられた漸化式は, an の係数が
両辺にn(n+1)を掛けることで
(n+1)an+1=nan
+1- An
n+1
anの係数がn, an+1 の係数が(n+1)となる。
(2)(1)と同様に両辺をn(n+1)で割ると
An+1
an
nan+1=(n+1)an+1
n+1
(解答)
(1) 両辺に n(n+1)を掛けると
(n+1)an+1=nan
や bn+1=(n+1)a、
b,=na, とおくと
bn+1= bn
また,b=1·a,=1 から bn= bn-1=………= b=1
bn
an
1
したがって
b=1
よって
n
n
1 1
An+1
n+1
an
(2) 両辺を n(n+1)で割ると
*n(n+1)キ0
n
An
b。
n
とおくと
bn+1= ba+
合b+=+」
n+1
1_
n+1
11
ゆえに
bn+1-bn=
n
また b=-
=2
11
よって, n22 のとき
ムーム+ -2+(1-)-
令数列(ba+1-6}
列(b}の階差数理
b、=2 であるから,この式は n=1 のときにも成り立つ。
ゆえに
b,=3-
(n21)
よって
an=nbn=3n-1
n
PRACTICE … 114®次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ
し、(2)では bn=n(n+1)
an
を利用して求めよ。
(2) 類
(1) a=2, 3nan+1=(n+1)am
n+2
an+1
n
(2) a=2, an+1=
