(2)の問題で、初項がどちらも1となるのはなぜですか？ 普通に計算したら出てこなくないですか？

121 3項間の漸化式(1) 特性方程式の解α βがαβとなる場合 527 p.525 基本事項 例題 重要 131 00000 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 [1] =1, a2=2, an+2+4an+1-5a=0 aya=0, a2=1, an+2=an+1+6an 解答 まずα+2 を x2 +1 を x, αを1とおいたxの2次方程式 (特性方程式) を解く。 その 2解をα,β とすると.αBのとき anti-aan+=(a+1-aan), an+z-Ban+1=a(an+1-Ban) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 (1) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含むから, 漸化式は A anan+1=-5 (anti-α) と変形され,階差数列を利用することで解決。…………… (2)特性方程式の解はx=3,-2→解に1を含まないから、 A を用いて2通りに表 し、等比数列{an+1-3an}, {an+1 +2an} を考える。 (1) 漸化式を変形すると an+2-Q+1=-5(+)-αn) 3章 16 種々の漸化式 ゆえに、数列{an+1-an}は初項α2-41=2-1=1, 公比-5 の等比数列であるから an+1-an=(-5)"-1 よって, n≧2のとき n-1 =(-5)=1+1・{1-(-5)"-'} k=1 (7-(-5)"} 1-(-5) n=1のとき, 1/12(7-(-5))=1であるから,これは成り立つ。 したがって a={7-(-5)"} (2) 漸化式を変形すると an+2-30n+1=2 (αn+1-34m) an+2+2+1=3(ants+2az) ①. ② ①より、数列{an+1-30円)は初項 ≪2-341=1,公比 -2の等 比数列であるから an+1-3an=(-2) -1. ③ ②より、数列{an+1 +2a)は初項a2+2a1= 1. 公比3の等比 数列であるから an+1+2an=3-1 ④③から 5an 3-1-(-2)-1 <x2+4x-5=0を解くと. (x-1)(x+5)=0から x=1-5 別 (1) 漸化式を変形して an+2+50円+1=4n+1+5am よって +1 +5 =an+5an-1 =a2+50=7 α+1+5=7 を変形して An+1- よって 7 6 a = (7-(-5)"} an= x=x+6 を解くと. (x-3)(x+2)=0 から x=3,-2 α=3,β=-2として指針 のを利用。 +を消去 したがって a={3-1-(-2)"} 次の条件によって定められる数列{az} の一般項を求めよ。 21 (1) a₁=0. a₂=1, 5an+2=3an+1+2an (2) a1=1, a2=2.4 2-24n+1-34万= 0 〔(2) 類 立教大]

a=6になるのはなんでですか。解き方を教えて欲しいです！

αの値の範囲は 80 解と係数の関係 q は実数の定数とする。 2次方程式 2x+5x+α=0 の2つの解をαβとするとき アイ a+B= である。また,a2+2=1/12 のとき,a = エ である。 ウ

ベクトルの質問です （3）の問題です 答えは25じゃないんですか？ 別解の解き方で解いたのですがわかりません 疑問点は書き込んであります 解説お願いします

解答 基本例 12 内積の計 次のベクトルαの内積 a) a-(-1, 1), 6=(√ 指針 (1) 内積の成分による ab=a 成分が与えられた♪ また、ベクトルの 問題に帰着させる。 また a-b=(- 604 基本 11 内積の計算(定義利用) 解答 0000 ∠A=90° AB=5, AC=4の三角形において, 次の内積を求めよ。 (1) BABC 指針 (2) AC-CB 内積の定義・=|a||6|cos0 (3) AB-BA P.602 基本事項 まず、∠ABCをく に当てはめて計算する。 その際, なす角の測り方に注意する。 (1) BA, BC は始点が一致しているから,それらのなす角は 右の図のαであるが, (2) の AC, CB のなす角を図のβである とすると誤り! この場合,例えば, CB を平行移動して 始点をAにそろえた ベクトルをAD とすると, AC, AD のなす角∠CAD が AC CBのなす角となる。 CHART 2 ベクトルのなす角 始点をそろえて測る (1) BA, BC のなす角 αは右の図の ∠ABC で, BC =√52+42=√41 である から BA・BC=|BA||BC|cosa 平行移動 √41 4 高2つのベクトル BC の始点は一致 A aB 5 =5xv41 x 5 √41 < COS Q= AB -=25 BC (2) CB を ADに平行移動すると,AC, CB のなす角 β は,右の図で AC, AD のなす角∠CAD=90°+αに等しく √√41 a-b-lab/cass cosβ=cos(90°+α)=-sinα=- 4 √41 ゆえに AC・CB=|AC||CB|cosβ =4×√4Ix(- 4 41 =-16 (3) BA を AÉ に平行移動すると, よって CO 0°0≤180°- (2) a b= B 始点をAにそろえる CBAD から ∠BAD = ∠ABC cos(0+90°)=-sil Dab=abcos 76-81 始点をAにそろえる 検討 よって 20°018 余弦定理を 上の例題 (1 きる。 a=O A(- AB, BA のなす角は、 右の図で AB, AE AB, AEのなす角であるから 180° 1+E と甲行 180° → B 5 A 5 ゆえに ABBA = |AB||BA|cos 180° 0°ではない! =5×5×(-1) =-25 Cos 180° 0-310 別解 (3) ABBA =AB (-AB) --|AB=-25 練習 △ABCにおいて, AB=√2, CA=2, ∠B=45°, ∠C=30°であるとき,次の内臓 == だからメー で25なのでは? よ 0° ① 11 を求めよ。 練習(1) (1) BABC (2) CA CB (3) AB BC (4) BC CA ② 12 0 p.617 EX12 (2)

解説願います。

15 サイン・コサインの加法定理を利用して次の値を求めよ。 sin(a+8)=sinacos 8+cosa sin 8 sin (a-8)=sin acos ß - cosa sin § cos(a+8)=cosa cos § - sin a sin cos(a-3)=cosa cos 3 + sina sin ẞ (1) sin 75° sin (30°+45°) (2) cos 105° = (3) sin 15°=

高二ベクトル　計算についてです。

=2OA・BC=0 JAB|+|OC-JAC+LOB = 40A-BC しくなるための条件は式の変形が分かりません。 , こは①ではないから, caことのなす角y a c.b 6. 絶対値の記号が cacb ca cb いつついて 6(a+1)=la(a+1) いつ外れる ab+bab=aa·b+tab tb(ab-a6)=aab-a6 -|a||| 0 であるから 分母を =la と 13 に √25 5 <最 lal √9+16+144 169 √9+0+16 t= 16 O to 628 620 15-+

(1)の解説の③の式って両辺3^n +1で割って解いても問題ないですよね？

基本 例題 41 隣接3項間の漸化式 (1) 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 _1) a1=0, a2=1, An+2=An+1+6an 2) a1=1, a2=2, an+2+4an+1-5an=0 指針 か P.475 基本事項 1 重要 43,52 ます,an+2x2, an+1 を x, an を 1 とおいた xの2次方程式 (特性方程式)を解く その2解をα β とすると, α≠βのとき an+2-αan+1=β(an+1-aan), an+2-Ban+1=α (an+1-Ban) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A (1)特性方程式の解はx=-2, 3→解に1を含まないから、 A を用いて2通りに 表し,等比数列{an+1+2an}, {an+1 - 3an} を考える。 (2) 特性方程式の解はx=1, -5→解に1を含むから, 漸化式は an+2-an+1=-5(an+1-an) と変形され,階差数列を利用することで解決できる。 (1) 漸化式を変形すると 答 an+2+2an+1=3(an+1 +2an) an+2-3an+1=-2 (an+1-3an) (x+2)(x-3)=0から <x2=x+6を解くと、 ①. ② ①より, 数列{an+1+2an}は初項a2+2a1=1, 公比3の 等比数列であるから an+1+2an=3n-1 (3 ②より, 数列{an+1-3an} は初項α2-3a=1, 公比-2 の等比数列であるから an+1-3an=(-2)"-1 5an=3"-1-(-2)7-1 ③ ④ から 1 したがって an= {3"-1-(-2)^-1} ④ x=-2,3 α=-2,β=3として指 針のAを利用。 an+1 を消去。

(2)(ii)です。 ○から_(写真を見てください)につながる理由がわかりません。教えてください。 直前の式変形は理解できました。 わかりにくくてごめんなさい。

MAI penco ® 第2章 複素数と方程式 20 共役複素数 (1) 複素数 α,β について, 次のことを証明せよ. (i) α+B=a+B (i) aß=aB (!!!) a ( ただし, B+0 とする。 =- (iv) α が実数であるための必要十分条件は α=α である. (2) 複素数zに対し, その共役複素数を表す. 4 (i) 複素数 z=x+yi (z, y は実数)が22+2=0 をみたすとき,yを を用いて表せ. 一方,aß=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i . aß=aB a (注)より(11/13) c-di (+½³) = (c + αi) = (c² + a c+di 1. 1 B c-di c+di である. d c²+d2 c²+dzi d 51 一方, 大 (i) 2z+izzの実数倍となるとき, zは22+22=0 をみたすことを示 B, 1 (w) - 1/ B a 1_α よって, ==a. B (iv) αが実数ならば, α =α+0i であり, α=a+0i=a-Oi=a=a (三重大 ) 逆に, α =α ならば, (1) 共役の定義に戻る (右辺) (左辺) または, 両辺を (実部) + (虚部)i の形に変形して, 一致するこ とを示す (2) 共役の基本性質を使う (i) a²=a², a-bi=a+bi より -b=b :.6=0 となりαは実数である. よって, αが実数であるための必要十分条件はα=α である. (2) (i) 22=(x+yi)=x-y'+2xyi であるから, z'+z=2×(z'の実部) =2(x²-y²) であり, z'+z=0 より r-y2=0 .. y=±x (ii) 2z+iz=kz (kは実数) となるとき, (ア) z=0 のとき, '+z=0 は成り立つ. 2z+iz (イ) z=0 のとき, k=- -=2+ 2 Z →精講 (1) 複素数 z= a + bi (a, b は実数) に対して, a-bi をzの共役複素数 といいと表します。 (i)~ (iv)は共役についての 基本性質です。 共役の定義にしたがって, 両辺の 実部, 虚部を比較しましょう. 解法のプロセス (2) (i) aß=aβ において,β=α とおけば, a²=a² また, α+α=(a+bi)+(a-bi)=2α =2x (αの実部) α+α=2x (αの実部) (ii) 実数であるための必要十分条件である(1)iv) (ii) a=α, を使ってみましょう。 αが実数 α =α また,共役の定義より α=α が成り立つこと(+税) も直ちにわかります。 第2章 iz (=k-2)は実数であるから 2 iz - iz より 2 2 -> 2²±²²=0 (12) z=-iz 以上, (ア), (イ)いずれのときも z+2=0 は成り立つ。 4 (xd = (-1)xd ibta 演習問題 解答 −1+√3i 20-1] 2= とするとき, z+z=[ 22= 2 (1) α=a+bi, B=c+di, a, b, c, d は実数で, iは虚数単位とする. ←a=a+bi,B=c+di とおく 1 1 -+- である.ただし, iは虚数単位を表し, はzと共役な複素数 Z 2 (i) a+B=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i =(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=a+B () aβ=(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i =(ac-bd)-(ad+bc)i を表す. (20-2 αを虚部が0でない複素数とする. αの共役な複素数と α2 が等しいと き, αを求めよ. ( 九州歯科大)

次の30の問題で何故①の判別式だけで実数解を持たないと判断できるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

(ア)(イ)より, 方程式 ① の異なる実数解の個数は 3 <a<0, 0<a< k1のとき2個 3 a = 0, ± のとき 2 1個 3 a< <a のとき 0個 2'2 解の公式を用いると 1+i±√(1+i-1(4+2i) x= 1 =1+i±√1+2i+i-4-2i =1+i±√-4=1+i±2i よって, この方程式の解は x=1+3i, 1-i 2次方程式の解の公式は 虚数係数の2次方程式に おいても成り立つ。 29 2つの方程式 -3x+α = 0, x-ax + α-3a = 0 の一方だけが虚数解をもつような定数α この値の範囲を求めよ。 ただし, は実数の定数とする。 31 2次方程式 x+ax+b = 0 が0でない解α,Bをもち,+p=3, 1/12 1/12 + とき, 実数α, bの値を求めよ。 =1が成り立つ (武蔵工業大) (ア) α = 0 のとき 2つの方程式はそれぞれ3x= 0, x2 = 0 であるから ともに実数解をもち, 条件に反する。 の係数が0のときは2 次方程式にならないから 場合分けして考える。 解と係数の関係により a+b=-a, aβ = b ... 1 ここで,' + B2=3より (a+B)^2uß=3 ① を代入すると a²-26 3 ... 2 ■基本対称式 α+β, aβ で表す。 D₁ =9-4a² - (イ) α 0 のとき ax²-3x+α=0 ① の判別式を D, とおくと − 4 (a² − −2 ) = − 4 (a + 32 ) ( a − ¾³) x-ax+a-3a = 0... ② の判別式を D2 とおくと D₂ a²-4(a2-3a) =-3a²+12a = -3a(a-4) ①が虚数解をもつとき 1 1 a+B また, -+ =1 より =1 分母をはらう。 a B aβ よって a+β= aβ ① を代入すると -a=b ... 3 ② ③より a²+2a-3=0 (a+3) (a-1)=0 より a=-3,1 αを消去してもよい。 ③ より, a = -3のとき α=1のとき b=3 b=-1 D1 < 0 より a<- 3 3 22 <a ...①、 αの係数が負であるから, したがって, 求めるα, bの値は ②が虚数解をもつとき D<0 より a < 0, 4 <a ....②、 注意して2次不等式を解 く。 a=-3,b=3 または 1,b=-1 32 ①', ②' の一方だけが成り立つような αの値の範囲は ② 1 2' 2次方程式 6x+α=0において、 次の条件を満たすようにそれぞれ定数αの値を定めよ。 (1)1つの解が他の解の2乗 (2)2つの実数解の絶対値の和が8 Di < 0 かつ D2≧0 sa<0, 3 ° 4 a <a≤4 D≧0 かつ D <0 の範囲。 (1) 1つの解が他の解の2乗であるから,この2次方程式の2つの解を α, ^ とすると, 解と係数の関係により 2つの解を1つの文字 α α+α²=6... ① a.a=a... ② を用いて表す。 30 定数がどのような実数値をとっても, xの2次方程式 x2(1+i)x+4+2ki=0は実数解を もたないことを証明せよ。 また, k=1のとき,この方程式の解を求めよ。 ①より α+α-6=0 (+3)(α-2)=0 より a=-3, 2 このとき, ②より a=-27, 8 (2) 与えられた方程式の判別式をDとすると, 実数解をもつから この方程式が実数解αをもつとすると a²-2(1+i)a+4+2ki = 0 よって (2-2a+4)+2(-α+k)i=0 k, α は実数より, -2a+4, -α+kも実数であるから 2a+4=0･･･ ① かつ -α+k=0... ② ここで,αの2次方程式 ①の判別式をDとすると =(-1)°-1・4=-3< 0 よって, ① は実数解をもたない。 すなわち, kの値にかかわらず与えられた方程式は実数解をもたない。 次に, k=1のとき与えられた方程式は x²-2(1+i)x +4+2i = 0 (①の左辺) =(-1)+3> 0 としてもよい。 D =9-40 すなわち ≦ 4 2つの解をα とすると, 絶対値の和が8であることから |a|+||=8 ... 1 解と係数の関係により α+β=6... ②, a = a ... ③ ①の両辺を2乗すると a +2\uß\ +B° = 64 (a+B)22aß+2|aβ| = 64 ② ③ を代入すると -α+|a|=14 (ア) 0≦a≦9 のとき 014 となり、不適。 (イ) α <0 のとき -2414 より これは α <0 を満たすから適する。 したがって a=-7 a=-7 絶対値記号をはずすため に場合分けをする。

Bは③のように-π/2<B<0を満たしているのに、何故赤線のようになるのか教えてほしいです

=55-1+2 (3) 直角三角形ABCにおいて, ∠BAC = 0 とおき, (1), (2) と同様にSを三角 1=25m (A=20日より 関数で表すと 5. S=√sin (20'+B)+ S = + Be- <A+ Be² キ +β) カ より 2 sin Bass & 4 sin ") I-COSLE 1=5=-20+ 4- =20-23 と変形できる。 ただし, βはサを満たす実数である。 したがって, 0' が Sogof-t 2 gol (DS << の範囲を動くとき,Sは'= 1 2 コ π -β. で最大値 2 Sin キ + をとる。204121の値よって、20+1=1/2 ? 55-7 +2 TC 日 すなわち サの解答群 << TV+8 B'+CTL+B ⑩tanβ=ク O<B< ① tanβ= == ク <B<π ② tanβ= ク - <B</tan tan ク 一覧<B<0 1900超えてる

(3)について 何故tan=-2といえるのか教えてほしいです

(2 第1問 三角関数 (1) 直角三角形ABC において ∠ABC = 0, AB=2より BC=2cos0 (①) CA=2sin0 ( ここで00< ......① したがって 5角形 正方形 S= = 1/2BC・CA+BC 2sinOcos0+4cos2d (2)②は2倍角の公式を用いると S= sin20+4･･ () ·② よ D CE (1) sinza=25inacosa, 1+cos 20 sza=2cma (2) 2 =sin 20+2 cos 20+2 (答) と変形でき、さらに三角関数の合成を用いると S=√12+22sin (20+α) +2 半分とりな =√5sin (20+α)+2 (答) J いならここまで と変形できる。 ここで, αは tana = 2, 0<a</ ( -> を満たす実数であり, 0が①の範囲を動くとき, 20+αのとり得る値の範囲は α <20+α < "+α よって, Sは =1 20+α = = // すなわち 0=(-a) JJson(zata)+2 555m +2 ...... (答) =55-1+2 で最大値 5.1+25 +2 をとる。 (3)∠BAC=0' とおくとき BC=2sin0',CA=2cos' であるから S=1/2BCCA+BC =2sin'coso'+4sin'0' = sin 20'+4 1-cos 20' 2 S = sin 20′-2cos20'+2 =√5 sin (20'+β)+2 と変形できる。 ただし,βは tanβ=-2. <B<0 (③) (答)