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第1章 実数と数列
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単調数列とコーシー列
基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限
基本 例題
次の条件で定められる数列{an} について、以下のことを示せ。
>2として,
a
a1=2, an+1= = (a
2
- (n=1,2, 3, ......)
この数列は正
(1) すべてのnについて 2
(3) 数列{an} は√2 に収束する。
(2) 数列{az} は単調に減少する。
指針
数列{an
数列{α
1つである。
指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され,近似値 2
束する
(1)帰納的にan>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。
(3) はさみうちの原理を利用して, lim|an-√21=0 を示す。
72-00
2を与える計算
定理
収
解答 α>2
an+1=
解答(1)α=2>0であり、漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。
よって, 相加平均と相乗平均の関係から、任意の自然数nについて
以下
よ
an+
an
+2)=1.2√a. 2-√2
br
ano
an
=2√2 であるから、すべてのnについて
(2) 任意の自然数nについて
an+1-an=
- ½ (an+2)-an-³
2-an²
2am
2-an
2≤0
(1)より、≧2であるから
ゆえに
an+1-an≤0
よって, an+1≦an であるから, 数列{an} は単調に減少する。
(3) 与えられた漸化式により
an+12
an2-2√/2an+2
2an
(an-√2) 2
2an
an-√2
(an-√√2)
参
2an
(1)より,0≦-
an-√√2
2an
an
1
であるから
2an 2
よって
anti-√2 (an-√2)
S
0san-√2(1)(a-√2)
lim (12) (a-√2)=0であるから
8218
liman=√2
818
